Capire il triangolo di Tartaglia

[pippo931]

salve, vorrei chiedervi se serve qualche "requisito minimo" per conoscere la costruzione del triangolo di Tartaglia (intendo il perchè di tale costruzione)?

grazie mille della disponibilità

[pippo931]

"Sergio":Se non ricordo male, non avevi - ma ora hai - familiarità con il concetto di fattoriale.
Il fattoriale di $n$ esprime il numero delle permutazioni di $n$ oggetti.
Infatti, puoi scegliere il primo tra $n$ oggetti, il secondo tra i restanti $n-1$, il terzo tra i restanti $n-2$, ecc.
In totale, $n(n-1)(n-2).....1=n!$
Mettiamo che ora devi scegliere $k$ oggetti tra $n$, $k Si dice che devi contare le disposizioni di $k$ oggetti scelti tra $n$.
Puoi scegliere il primo tra $n$, il secondo tra $n-1$, e così via fino a $n-k+1$, ovvero:
$n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$
che è uguale a: $(n!)/((n-k)!)$, che viene detto il numero delle disposizioni di $k$ oggetti scelti tra $n$.
Ovviamente, come nel caso delle permutazioni, nelle disposizioni è rilevante l'ordine in cui disponi gli oggetti che scegli.
Ad esempio, il numero dei diversi ordini di arrivo dei primi 3 concorrenti in una gara di corsa cui partecipino 10 concorrenti è:
$(n!)/((n-k)!)=(10!)/(7!)=720$ (invece il numero di tutte le diverse classifiche dei 10 è $10!=3628800$).
Se l'ordine di quei primi tre non ti interessa, se vuoi solo sapere in quanti modi si possono avere 3 concorrenti ai primi 3 posti se i concorrenti in totale sono 10, basta dividere quel 720 per il numero delle permutazioni di un insieme di 3 elementi, che è $3! =6$, quindi $720/6=120$.
In generale, il numero delle combinazioni di $k$ oggetti scelti tra $n$ è: $(n!)/((n-k)!k!)$.
Quest'ultima formula viene indicata con $((n),(k))$ e si chiama coefficiente binomiale.
Scegli un $n$, fai variare $k$ da $1$ a $n$ e avrei una riga del triangolo di Tartaglia.
Era questo quello che volevi sapere?

no, il problema è un altro: disposizioni, formula del binomio di Newton, permutazioni e combinazioni, le ho capite da uno Zwirner di mio padre, quello che volevo capire è il perchè del fatto che la somma di due numeri sopra ti da il numero che sta sotto.

[nox89]

Guarda fra le proprietà dei coefficienti binomiali; ce ne è una che afferma proprio questo. Sul mio libro la chiama terza proprietà dei coefficienti binomiali.

[pippo931]

mi sembra di aver trovato una buona dimostrazione il questo sito:
http://www.matematica.it/impedovo/artic ... omiali.pdf

[nox89]

Il teorema alla seconda pagina è proprio la terza proprietà dei coefficienti binomiali a cui io mi riferivo.

[pippo931]

"nox89":Il teorema alla seconda pagina è proprio la terza proprietà dei coefficienti binomiali a cui io mi riferivo.

si, appunto, riguarda la somma che caratterizza il triangolo, grazie

[pippo931]

nel courant e robbins propone questo esercizio: dimostrare che $(1+1)^n=2^n$ utilizzando lo sviluppo del binomio.

secondo voi si può dimostrare per induzione verificando i casi base per n=1 e n=0. Poi se è vero che $(1+1)^n=2^n$
ovvero $sum_(k=0) ^n((n),(k))$ basta dimostrare che $sum_(k=0) ^n((n),(k))=2^n iff (1+1)^n sum_(k=0) ^n((n),(k))=2^(n+1)$ o meglio: $(1+1)^n=2^n iff (1+1)^n (1+1)=2^(n+1)$, banalmente vera. Dimostrato (?) il fatto che se l'uguaglianza è vera per n deve essere vera anche per n+1 e dato che è vera per 1 e per 0 allora l'uguaglianza è vera per qualsiasi n (?). Ma non mi sembra di aver utilizzato lo sviluppo del binomio.
Che ne pensate?

[fedeb2]

$2^n=(1+1)^n=sum(nCk)1^k1^(n-k)=sum(nCk)$ dove con nCk indico il coeff. binomiale.
a proposito come si scrive il coefficente binomiale in mathml??

[amandy1]

((n),(k)) con dollari i verrà $((n),(k))$

[G.D.5]

Io non ho capito una cosa sul simbolo di sommatoria: se scrivo \$\sum\$ viene questo $\sum$...come ha fatto fedeb a farlo uscire più grande? Mi piace di più quello di fedeb

[pippo931]

"fedeb":$2^n=(1+1)^n=sum(nCk)1^k1^(n-k)=sum(nCk)$ dove con nCk indico il coeff. binomiale.
a proposito come si scrive il coefficente binomiale in mathml??

quindi basta dire che $(1+1)^n=2^n$ non capisco in che modo abbia usato il teorema del binomio, il fatto che $(1+1)^n = sum_(k=0) ^n ((n),(k))$ era già scritto nel testo dell'esercizio. E' facile risolverlo sommando $1$ con $1$ ma così non si utilizza il teorema. O mi sbaglio e l'esercizio chiedeva solamente di dimostrarlo esponendo $(1+1)^n$ con la sommatoria dei coefficenti binomiali? Comunque la mia risoluzione andava bene secondo te?

[fedeb2]

il binomio di newton lo usi per mostrare quella relazione che altrimenti sarebbe difficile dimostrare. sfrutti il fatto che $1^n$ è sempre 1.è quella l'utilità del binomio
@wizard
scrivi semplicemente sum tra i dollari ed esce $sum$

[pippo931]

"fedeb":il binomio di newton lo usi per mostrare quella relazione che altrimenti sarebbe difficile dimostrare. sfrutti il fatto che $1^n$ è sempre 1.è quella l'utilità del binomio
@wizard
scrivi semplicemente sum tra i dollari ed esce $sum$

ah si scusa, ho detto scemeze, era più facile di quanto pensassi (stavo cercando qual cosa che non c'era). In pratica io stavo cercando di dimostrare che $(1+1)^n=2^n$ o meglio che 1+1=2 . Sono addirittura arrivato a pensare all'induzione, che scemo! Ma alla fine è giusta o no la mia risoluzione (se così si può chiamare ,ahimè)?

[fedeb2]

si che è giusta, pero complichi troppo le cose per una simile banalità (alle olimpiadi ti darei qualche punto in meno... )

[pippo931]

"fedeb":si che è giusta, pero complichi troppo le cose per una simile banalità (alle olimpiadi ti darei qualche punto in meno... )

e già, il fatto è che avevo capito male l'esrercizio: pensavo che col teorema del binomio bisognasse dimostrare che $(1+1)^n=2^n$ e non che $2^n$ è uguale alla somma dei coefficienti.