Campo magnetico: integrale

[_prime_number]

Sul libro c'è la dimostazione della forumla per l'intensità del campo magnetico di un filo infinitamente lungo.
chiamerò m la costante di permeabilità elettrica nel vuoto e pi pigreco

B=(m*i)/2r*pi

Ora per dimostrarla arriva a dover integrare questa espressione:
R/(s^2 +R^2)^(3/2) in ds

Mi sapete dire come si fa ad ottenere la primitiva? Non so che passaggi fare, lui la fa direttamente e io mi impantano sempre...

Paola

[salvorapi]

Ciao.

Hai mai sentito parlare della legge di Biot-Savart ?

La teoria è molto lunga, ma comunque la formula
R/(s^2 +R^2)^(3/2) deriva dal seguente fatto.

r = ( s^2 + R^2 ) ^ 1/2
sen(Alpha) = R / (s^2 + R^2)^1/2

La legge di Biot-Savart dice che
B = (m*i/4*p)*I(-Inf, + Inf, sin(Alpha) / r^2) dove I è la funzione integrale che integra tra -Inf e +Inf la funzione sin(Alpha) / r^2 in ds.

Facendo le sostituzioni ti viene che

B = (m*i/4*pi)*I(-Inf, + Inf, R / ( (s^2 + R^2) ^ (3/2) ) )

Il risultato di questo integrale è

(m*i/4*pi*R) * ( s / ( (s^2 + R^2) ^ (1/2) ) ) da calcolare tra -Inf e +Inf


Poichè si tratta di un intregrale irrazionale devi calcolare il
limite per s che tende a -Inf e +Inf.
Considera che 1/R è una costante e può andare fuori dal limite.
In questo calcolo non ti posso aiutare, ma ti assicuro che il
limite risulta 1.

Sommando i due estremi si ha come risultato 2.

Quindi B = m*i/ 2*pi*R

Se hai dubbi fammi sapere.

Ciao

[_prime_number]

Ok il limite lo so calcolare... E' dal punto di vista matematico che ho dei dubbi. E' solo quell'integrale che mi dà noia, non capisco quali sono i passaggi per arrivare alla sua primitiva... Potresti dirmeli? Grazie mille, anzi 10^3 [;)]

Paola

[salvorapi]

L'integrale che vuoi risolvere è un integrale abbastanza difficile.
Sul mio libro di matematica viene chiamato Jn e viene risolto in maniera
ricorsiva. Il procedimento per risolvere l'integrale è per parti.
Utilizzerò la funzione I(f(x)) come funzione integrale
Il procedimento è il seguente
I(R/(s^2+R^2)^(3/2)) = (1/R)I(R^2/(s^2+R^2)).
Procedendo per parti...
I(1/(s^2+R^2)) = s/(R^2+s^2)^(3/2) + 3*I(s^2/(R^2+s^2)^(5/2)) =
= s/(R^2+s^2)^(3/2) + 3*I((s^2+R^2-R^2)/(R^2+s^2)^(5/2)) =
= s/(R^2+s^2)^(3/2) + 3*I(1/(R^2+s^2)^(3/2)) - 3*I(R^2/(R^2+s^2)^(5/2)).

Noterai che c'è qualcosa di ricorsivo in tutta questa formula.
Facendo quattro calcoli noterai che il risultao non è così difficile.

Il libro da una formula di questo tipo

J(n+1) = s/(2n(c+s^2)^n) + [(2n-1)/2n]*J(n)

Se sostituisci a n=1/2, allora n+1 = 3/2, cioè il caso nostro.

Percio J(1/2 + 1) = s/((R^2+t^2)^(1/2)), cioè il tuo risultato.

Spero di essere stato chiaro.

Buona notte.