Campo d'esistenza logaritmi con frazione
salve a tutti,
non so che la discussione era già aperta, in tal caso mi scuso anticipatamente.
Lunedì avrei da fare un esame di matematica per l'economia, nulla a che vedere con calcolo del campo d'esistenza di una funzione... ma ciò nonostante il prof. ha avuto la brillante idea di mettere anche qualcosa sul calcolo del dominio. Essendo che ho studiato questo argomento qualche anno fa, ho qualche lacuna sul procediamo dei calcoli. Da qui la mia richiesta d'aiuto!
Tra gli esercizi che ho svolto c'è ne uno per il quale ho qualche dubbio:
[tex]$\ln\frac{x+y}{x-2y+1}$[/tex]
Io pongo il numeratore maggiore di zero (essendo che l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero) mentre il denominatore diverso da zero.... e poi metto a sistema. A me viene: [tex]$y>\frac{1}{3} \land x \neq -\frac{1}{3}$[/tex]
Il mio procedimento è corretto?! i risultati che ho attenuto sono esatti?!
grazie mille a chiunque mi risponderà
[mod="WiZaRd"]
Aggiunti i tag TeX e le relative stringhe per la scrittura corretta delle formule. Ricordo che dal 30-esimo post l'uso dei suddetti compilatori è obbligatorio.
EDIT
Corretto il logaritmo secondo quanto emerso nei post successivi.
[/mod]
non so che la discussione era già aperta, in tal caso mi scuso anticipatamente.
Lunedì avrei da fare un esame di matematica per l'economia, nulla a che vedere con calcolo del campo d'esistenza di una funzione... ma ciò nonostante il prof. ha avuto la brillante idea di mettere anche qualcosa sul calcolo del dominio. Essendo che ho studiato questo argomento qualche anno fa, ho qualche lacuna sul procediamo dei calcoli. Da qui la mia richiesta d'aiuto!
Tra gli esercizi che ho svolto c'è ne uno per il quale ho qualche dubbio:
[tex]$\ln\frac{x+y}{x-2y+1}$[/tex]
Io pongo il numeratore maggiore di zero (essendo che l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero) mentre il denominatore diverso da zero.... e poi metto a sistema. A me viene: [tex]$y>\frac{1}{3} \land x \neq -\frac{1}{3}$[/tex]
Il mio procedimento è corretto?! i risultati che ho attenuto sono esatti?!
grazie mille a chiunque mi risponderà
[mod="WiZaRd"]
Aggiunti i tag TeX e le relative stringhe per la scrittura corretta delle formule. Ricordo che dal 30-esimo post l'uso dei suddetti compilatori è obbligatorio.
EDIT
Corretto il logaritmo secondo quanto emerso nei post successivi.
[/mod]
Risposte
Quello che devi porre positivo non è il numeratore, ma l'argomento del logaritmo, quindi nel sistema avrai
$\{(x + y>0),(x -2y+1 != 0):}$
La disequazione ti dà il semipiano che sta sopra la bisettrice del II e IV quadrante, la disuguaglianza dice che devi escludere dal semipiano la semiretta che parte dal punto $(-1/3; 1/3)$ (è il punto di intersezione delle due rette) e passa per $(1; 1)$ (è un qualunque punto della retta $x -2y+1 = 0$ appartenente al semipiano considerato).
$\{(x + y>0),(x -2y+1 != 0):}$
La disequazione ti dà il semipiano che sta sopra la bisettrice del II e IV quadrante, la disuguaglianza dice che devi escludere dal semipiano la semiretta che parte dal punto $(-1/3; 1/3)$ (è il punto di intersezione delle due rette) e passa per $(1; 1)$ (è un qualunque punto della retta $x -2y+1 = 0$ appartenente al semipiano considerato).
grazie per la risposta,
Tuttavia credo di aver scritto male la funzione: il logaritmo non è al nominatore, ma tutta la frazione è l'argomento del logaritmo.
Il procediamo resta uguale?!
Grazie ancora per la pazienza.
Tuttavia credo di aver scritto male la funzione: il logaritmo non è al nominatore, ma tutta la frazione è l'argomento del logaritmo.
Il procediamo resta uguale?!
Grazie ancora per la pazienza.
Allora la funzione e'
[tex]$\ln\frac{x+y}{x-2y+1}$[/tex]
La condizione di esistenza del logaritmo e' che il suo argomento sia >0.
Siccome l'argomento e' una frazione, se il numeratore e il denominatore hanno lo stesso segno, allora la frazione e' positiva.
[tex]$\ln\frac{x+y}{x-2y+1}$[/tex]
La condizione di esistenza del logaritmo e' che il suo argomento sia >0.
Siccome l'argomento e' una frazione, se il numeratore e il denominatore hanno lo stesso segno, allora la frazione e' positiva.
quindi il campo d'esistenza sarà $ RR $ ?
Non devo fare nessun calcolo mi basta vedere solo se la funzione è positiva o negativa?
Avevo pensato anche a questo, ma ponevo all'inizio sia il numeratore che il denominatore >o mettendo a sistema.
Anche qui i risultati non cambiavano: escludevo dall'insieme i punti $ (-1 / 3; 1 / 3) $
è giusto il mio procedimento?
Non devo fare nessun calcolo mi basta vedere solo se la funzione è positiva o negativa?
Avevo pensato anche a questo, ma ponevo all'inizio sia il numeratore che il denominatore >o mettendo a sistema.
Anche qui i risultati non cambiavano: escludevo dall'insieme i punti $ (-1 / 3; 1 / 3) $
è giusto il mio procedimento?
Cambia un po'. Adesso devi imporre la positività della frazione $(x+y)/(x-2y+1)>0$, tracci le due rette nel piano cartesiano. Il piano viene diviso in 4 parti che si incontrano nel punto $(-1/3; 1/3)$. Quelle che ti interessano sono quella contenente il semiasse positivo delle x e quella opposta al vertice rispetto a questa.
grazie infinite per le spiegazione: tutto chiarissimo
adesso mi ricordo
grazie ancora
adesso mi ricordo
grazie ancora
Prego e ... in bocca al lupo.
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