Campi di esistenza funzioni goniometriche
Volevo chiedervi, in generale, il metodo per trovare il campo di esistenza di una funzione goniometrica. In una espressione del tipo (faccio un esempio)
$y= (-tg(x))/(sen(x))$ io ragiono in questo modo:
prima impongo l'esistenza della tangente;
poi impongo che $sen(x)$ sia diverso da zero.
So che la tangente esiste per $\alpha != (\pi)/2 + k\pi$ e, poichè so che il seno si annulla per 180, 360 ecc., ricavo da questo semplice ragionamento che il seno è diverso da zero solo quando $k!= k\pi$$.
Il problema, per me, è giungere alla condizione di esistenza finale.
La professoressa ha spiegato, per nulla chiaramente, un metodo particolare. In pratica,per arrivare al C.E. ci ha fatto disegnare la circonferenza goniometrica, e ,nel primo caso della tangente, ci ha fatto mettere una X (proprio a barrare) sul 90 gradi e sul 270 gradi; nel secondo caso, ci ha fatto mettere la solita X su 180 e 360. Fatto ciò, ha detto che il risultato è $x!= k\(pi/2)$.
Mi pare di aver capito che in realtà le X stiano marcando una sorta di intervallo, e poichè in questo caso abbiamo una X ogni 90 gradi, è ovvio che sia $x!=k\(pi/2)$.
Esiste una maniera più semplice di svolgere un esercizio del genere? E soprattutto: il "metodo delle X" è corretto? L'ho interpretato bene?
Grazie anticipatamente.
$y= (-tg(x))/(sen(x))$ io ragiono in questo modo:
prima impongo l'esistenza della tangente;
poi impongo che $sen(x)$ sia diverso da zero.
So che la tangente esiste per $\alpha != (\pi)/2 + k\pi$ e, poichè so che il seno si annulla per 180, 360 ecc., ricavo da questo semplice ragionamento che il seno è diverso da zero solo quando $k!= k\pi$$.
Il problema, per me, è giungere alla condizione di esistenza finale.
La professoressa ha spiegato, per nulla chiaramente, un metodo particolare. In pratica,per arrivare al C.E. ci ha fatto disegnare la circonferenza goniometrica, e ,nel primo caso della tangente, ci ha fatto mettere una X (proprio a barrare) sul 90 gradi e sul 270 gradi; nel secondo caso, ci ha fatto mettere la solita X su 180 e 360. Fatto ciò, ha detto che il risultato è $x!= k\(pi/2)$.
Mi pare di aver capito che in realtà le X stiano marcando una sorta di intervallo, e poichè in questo caso abbiamo una X ogni 90 gradi, è ovvio che sia $x!=k\(pi/2)$.
Esiste una maniera più semplice di svolgere un esercizio del genere? E soprattutto: il "metodo delle X" è corretto? L'ho interpretato bene?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ciao, se hai una frazione di quel tipo puoi riscriverla come $y=\frac{-sen(x)}{sen(x)\cdotcos(x)}$, infatti la tangente $tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$ è definita laddove il denominatore $cos(x)$ non è nullo (non il seno come dicevi tu), quindi è definita $AAx!=\frac{\pi}{2}+k\pi$.
Tornando alla tua funzione, ti accorgi che il denominatore $sen(x)\cdotcos(x)$ si annulla per $x=k\frac{\pi}{2}$ proprio perchè non si deve annullare nè il seno nè il coseno.
La maniera corretta è fare il dominio, prima di ogni semplificazione, subito ponendo tutti i fattori del denominatore diversi da zero; a questo punto puoi "barrare con un a X" i punti dove tali fattori si annullano sulla circonferenza goniometrica, al fine di scriver in maniera sintetica il dominio e poi procedere con eventuali semplificazioni.
Tornando alla tua funzione, ti accorgi che il denominatore $sen(x)\cdotcos(x)$ si annulla per $x=k\frac{\pi}{2}$ proprio perchè non si deve annullare nè il seno nè il coseno.
La maniera corretta è fare il dominio, prima di ogni semplificazione, subito ponendo tutti i fattori del denominatore diversi da zero; a questo punto puoi "barrare con un a X" i punti dove tali fattori si annullano sulla circonferenza goniometrica, al fine di scriver in maniera sintetica il dominio e poi procedere con eventuali semplificazioni.
Intanto grazie per la risposta.
Alcune domande:
A quel punto, dove tu giustamente hai trasformato la tangente nel rapporto tra seno e coseno, non potevo direttamente semplificare il seno al numeratore con il seno al denominatore? Oppure è impossibile proprio perchè prima di semplificare (e non dopo) devo trovare il C.E.?
Per dominio, intendi ovviamente il C.E. (sul libro c'è scritto che, ove non espressamente indicato, essi coincidono)?
Il "metodo generale" è:
Scomporre il denominatore in fattori, se è possibile;
Porre ogni fattore diverso da zero;
Barrare con una X....Ma dove?
E infine: in un esercizio del tipo $y=(2sen(x)-1)/(3tg(x))$ , giusto per prendere qualche altro caso, come procedo? Avevo pensato di imporre che la tangente esista e che essa sia diversa da zero, ma non vado avanti.
Alcune domande:
A quel punto, dove tu giustamente hai trasformato la tangente nel rapporto tra seno e coseno, non potevo direttamente semplificare il seno al numeratore con il seno al denominatore? Oppure è impossibile proprio perchè prima di semplificare (e non dopo) devo trovare il C.E.?
Per dominio, intendi ovviamente il C.E. (sul libro c'è scritto che, ove non espressamente indicato, essi coincidono)?
Il "metodo generale" è:
Scomporre il denominatore in fattori, se è possibile;
Porre ogni fattore diverso da zero;
Barrare con una X....Ma dove?
E infine: in un esercizio del tipo $y=(2sen(x)-1)/(3tg(x))$ , giusto per prendere qualche altro caso, come procedo? Avevo pensato di imporre che la tangente esista e che essa sia diversa da zero, ma non vado avanti.
Prego! Allora, vediamo di rispondere a tutte le tue domande!
Si certo che potevo semplificare, volevo solo far vedere che se si semplificava direttamente ci si poteva dimenticare di porre il seno diverso da zero!
Si in realtà io li uso come sinonimi , sbagliando perchè c'è una leggera differenza:il dominio è l'insieme delle $x$ in cui la funzione $f(x)$ ha un senso, mentre il campo di esistenza può essere più limitato, infatti ti può essere richiesto se una funzione è definita in un intervallo dato, per esempio in $[0;2\pi]$.
Per essere più chiaro immagina che io ti chieda quando $y=tg(x)$ è definita in generale (equivalente a dirti: trova il dominio di $y=tg(x)$); oppure solo nell'intervallo $[0;2\pi]$(è come se ti chiedessi il campo di esistenza in tale intervallo).
Ovviamente nei punti che escludi col dominio: nel caso di prima fai una bella X dove si annulla il seno (i punti di incontro della circonferenza con l'asse delle x) e dove si annulla il coseno (i punti di incontro della circonferenza con l'asse delle y), ti accorgi così che "ogni 90°" c'è una X e puoi scrivere: $x!=k\cdot\frac{\pi}{2}$
Si hai ragionato nel modo giusto: devi vedere quando la tangente esiste ($x!=frac{\pi}{2}+k\pi$) e quando non è nulla ($x!=k\pi$), mettere a sistema tali condizioni ottenendo $x!=k\cdot\frac{\pi}{2}$
edit: ho risolto il problema dei "quote"!
"UNSUB":
A quel punto, dove tu giustamente hai trasformato la tangente nel rapporto tra seno e coseno, non potevo direttamente semplificare il seno al numeratore con il seno al denominatore? Oppure è impossibile proprio perchè prima di semplificare (e non dopo) devo trovare il C.E.?
Si certo che potevo semplificare, volevo solo far vedere che se si semplificava direttamente ci si poteva dimenticare di porre il seno diverso da zero!
"UNSUB":
Per dominio, intendi ovviamente il C.E. (sul libro c'è scritto che, ove non espressamente indicato, essi coincidono)?
Si in realtà io li uso come sinonimi , sbagliando perchè c'è una leggera differenza:il dominio è l'insieme delle $x$ in cui la funzione $f(x)$ ha un senso, mentre il campo di esistenza può essere più limitato, infatti ti può essere richiesto se una funzione è definita in un intervallo dato, per esempio in $[0;2\pi]$.
Per essere più chiaro immagina che io ti chieda quando $y=tg(x)$ è definita in generale (equivalente a dirti: trova il dominio di $y=tg(x)$); oppure solo nell'intervallo $[0;2\pi]$(è come se ti chiedessi il campo di esistenza in tale intervallo).
"UNSUB":
Barrare con una X....Ma dove?
Ovviamente nei punti che escludi col dominio: nel caso di prima fai una bella X dove si annulla il seno (i punti di incontro della circonferenza con l'asse delle x) e dove si annulla il coseno (i punti di incontro della circonferenza con l'asse delle y), ti accorgi così che "ogni 90°" c'è una X e puoi scrivere: $x!=k\cdot\frac{\pi}{2}$
"UNSUB":
E infine: in un esercizio del tipo $y=(2sen(x)-1)/(3tg(x))$ , giusto per prendere qualche altro caso, come procedo? Avevo pensato di imporre che la tangente esista e che essa sia diversa da zero, ma non vado avanti.
Si hai ragionato nel modo giusto: devi vedere quando la tangente esiste ($x!=frac{\pi}{2}+k\pi$) e quando non è nulla ($x!=k\pi$), mettere a sistema tali condizioni ottenendo $x!=k\cdot\frac{\pi}{2}$
edit: ho risolto il problema dei "quote"!
Però, il campo di esistenza devo sempre trovarlo prima di semplificare, giusto? nel senso: prima, ad esempio, di ridurre seno e seno (numeratore e denominatore) a 1. O no?
E nel mettere a sistema, appunto, le condizioni, in realtà non faccio altro che barrare con X le "zone" da escludere, e ,in base agli intervalli tra quelle zone, scrivo la "formula generica" del C.E. utilizzando il parametro $k$.
PENSO di aver capito adesso, comunque, dovessi avere altri dubbi, chiederò in questa sede.
A proposito, nell'ultimo esercizio, ovviamente il seno al numeratore lo "lascio stare"?
Comunque penso ci sia un errore nel tuo modo di quotare, anche a me a volte il pc ha "sbagliato" i quote.
E nel mettere a sistema, appunto, le condizioni, in realtà non faccio altro che barrare con X le "zone" da escludere, e ,in base agli intervalli tra quelle zone, scrivo la "formula generica" del C.E. utilizzando il parametro $k$.
PENSO di aver capito adesso, comunque, dovessi avere altri dubbi, chiederò in questa sede.
A proposito, nell'ultimo esercizio, ovviamente il seno al numeratore lo "lascio stare"?
Comunque penso ci sia un errore nel tuo modo di quotare, anche a me a volte il pc ha "sbagliato" i quote.
"UNSUB":
Però, il campo di esistenza devo sempre trovarlo prima di semplificare, giusto? nel senso: prima, ad esempio, di ridurre seno e seno (numeratore e denominatore) a 1. O no?
Sì, come ti ho già detto, assolutamente sì!
"UNSUB":
E nel mettere a sistema, appunto, le condizioni, in realtà non faccio altro che barrare con X le "zone" da escludere, e ,in base agli intervalli tra quelle zone, scrivo la "formula generica" del C.E. utilizzando il parametro $k$.
Bè diciamo che puoi vederla così. Tuttavia mettere le X è un modo per aiutarti, non sei obbligato, il dominio è necessario!
"UNSUB":
PENSO di aver capito adesso, comunque, dovessi avere altri dubbi, chiederò in questa sede.
Certo, se qualcosa non ti è chiaro chiedi!
E se invece abbiamo una funzione come y=(√1+senx)/cosx come si trova il campo di esistenza?
$y=sqrt(1+sinx)/cosx$ immagino sia la funzione che intendevi. Il campo di esistenza prevede le condizioni della frazione e della radice quadrata, quindi avrai:
${(1+sinx>=0),(cosx!=0):}$.
${(1+sinx>=0),(cosx!=0):}$.
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