Calcolo volume solido di rotazione rispetto asse y

[jordan20]

Buongiorno a tutti.
Sto svolgendo il problema appartenente a una simulazione di prova d'esame (trattata da Matematica C.V.D. Blu, pag.650) che riporto direttamente:



Sono riuscito a risolvere il punto a.; per quanto riguarda il punto b. devo quindi calcolare il volume di questo trapezoide:



Ora, la formula per il calcolo del volume è \(\displaystyle V=\pi \int_{f(a)}^{f(b)}[f(y)]^{2}dy \), per cui:

- essendo \(\displaystyle a=\frac{1}{2} \), segue che \(\displaystyle f(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{e}}{4}+\frac{1}{2}\approx 0,9122 \);

- essendo \(\displaystyle b=\frac{e+1}{2} \), segue che \(\displaystyle f\left ( \frac{e+1}{2} \right )=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}[e+1]^{(e+1)/2}\approx 6,4662 \);

- essendo la funzione quella data, devo ricavare la \(\displaystyle f(y) \), per cui vuol dire che, arrivando al passaggio \(\displaystyle 2y-1 = xe^x \), si deve applicare la funzione W (di Lambert)? Quindi in sostanza risolvere poi questo integrale?



O sto dicendo corbellerie?

Grazie

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EDIT: Aggiungo un "bit": devo forse applicare il metodo dei gusci cilindrici?
\(\displaystyle V=\int_{a}^{b}xf(x)dx \)
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[mgrau]

"jordan20":
EDIT: Aggiungo un "bit": devo forse applicare il metodo dei gusci cilindrici?
\(\displaystyle V=\int_{a}^{b}xf(x)dx \)
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Sì, mi sembra molto più diretto. $V = 2piint_0^1 xF(x)dx$

[Noodles1]

Applicando il metodo di sostituzione:

$[y=1/2(xe^x+1)] rarr [dy=1/2(x+1)e^xdx]$

si ha:

$\pi\int_{1/2}^{(e+1)/2}[f^(-1)(y)]^2dy=\pi/2\int_{0}^{1}x^2(x+1)e^xdx=\pi/2(4-e)$

e quindi:

$V=\pi/2(e+1)-\pi/2(4-e)=\pi/2(2e-3)$

[jordan20]

"Noodles":Applicando il metodo di sostituzione:

Credevo di aver capito... invece mi sono un pò perso sui passaggi: potresti spiegarmi meglio

Grazie

[Noodles1]

Più in generale:

Funzione originale crescente

$x_1 lt= x lt= x_2$

$y=f(x)$

$y_1=f(x_1)$

$y_2=f(x_2)$

Funzione inversa crescente

$y_1 lt= y lt= y_2$

$x=f^(-1)(y)$

$x_1=f^(-1)(y_1)$

$x_2=f^(-1)(y_2)$

Rotazione asse y

$V=\pi\int_{y_1}^{y_2}[f^(-1)(y)]^2dy$

Metodo di sostituzione

$[y=f(x)] rarr [(dy)/(dx)=f'(x)] rarr [dy=f'(x)dx]$

Rotazione asse y

$V=\pi\int_{y_1}^{y_2}[f^(-1)(y)]^2dy=
\pi\int_{x_1}^{x_2}[f^(-1)(f(x))]^2f'(x)dx=\pi\int_{x_1}^{x_2}x^2f'(x)dx$

$f^(-1)(f(x))=x$

Ad ogni modo, meglio indicare i passaggi non chiari. Vero è che, se ti accontenti di una formula:

$V=\pi\int_{x_1}^{x_2}x^2f'(x)dx$

[jordan20]

Adesso mi sono chiari i passaggi; capisco il risultato dell'integrale (risolvendo per parti):

"Noodles":

$ \pi\int_{1/2}^{(e+1)/2}[f^(-1)(y)]^2dy=\pi/2\int_{0}^{1}x^2(x+1)e^xdx=\pi/2(4-e) $

e quindi:

$ V=\pi/2(e+1)-\pi/2(4-e)=\pi/2(2e-3) $

Non capisco da dove venga il contributo $\pi/2(e+1)$, chiedo scusa

[Noodles1]

Il volume del trapezoide:

$\pi/2(e+1)-\pi/2(4-e)$

è la differenza tra il volume di un cilindro:

$[r=1] ^^ [h=(e+1)/2] rarr [V=\pi/2(e+1)]$

e il volume calcolato in precedenza:

$\pi/2(4-e)$

P.S.
Vale la pena sottolineare che l'applicazione diretta della formula sottostante:

$\pi\int_{1/2}^{(e+1)/2}[f^(-1)(y)]^2dy$

è impraticabile per l'impossibilità di ricavare in "forma chiusa" la funzione inversa.

[jordan20]

Ok, tutto chiaro adesso

[Noodles1]

Per completezza, applicando la formula relativa al metodo dei gusci cilindrici:

$2\pi\int_{x_1}^{x_2}xf(x)dx$

da te proposta e confermata da mgrau, si ricava direttamente il volume del trapezoide:

$2\pi\int_{x_1}^{x_2}xf(x)dx=$

$=\pi[x^2f(x)]_(x_1)^(x_2)-\pi\int_{x_1}^{x_2}x^2f'(x)dx=$

$=\pix_2^2f(x_2)-\pix_1^2f(x_1)-\pi\int_{x_1}^{x_2}x^2f'(x)dx$

senza fare differenze di volumi. Dopo un dovuto approfondimento, solo adesso me ne sono accorto.

[giammaria2]

Protesto contro l'enunciazione del punto a: ruotando, un arco di curva genera una superficie e non un solido. Suppongo però che si intendesse proprio l'interpretazione datagli da jordan20.
I due volumi possono essere ricavati direttamente col metodo dei gusci cilindrici (non conoscevo questo nome) ricordando che il volume generato in una rotazione attorno all'asse y della parte di piano limitata superiormente da $y=f(x)$, inferiormente da $y=g(x)$ e lateralmente da $x=a;x=b$ è
$V=2 pi int_a^b x[f(x)-g(x)]dx$
Per il primo volime, la limitazione superiore è $y=(e+1)/2$ e l'inferiore è $y=(xe^x+1)/2$; per il secondo volume, la superiore è $y=(xe^x+1)/2$ e l'inferiore è $y=0$.
Non ho fatto i calcoli, ma i risutati del testo non mi convincono: la somma dei due volumi dovrebbe dare il volume di un cilindro, e cioè $pi*1^2*(e+1)/2$

[moccidentale]

.

[giammaria2]

No. Nella rotazione attorno all'asse x si deve integrare $pi y^2 dx$, quindi nella rotazione attorno all'asse y si deve integrare $pi x^2 dy$, ottenendo
$V_x=pi int_(f(0))^(f(1)) x^2 dy$
Con la sostituzione $y=f(x)->dy=f'(x)dx$ si ha
$V_x=pi int_0^1 x^2 f'(x)dx$

[moccidentale]

.

[giammaria2]

Domando scusa per una mia bestialità: il titolo mi veva fatto pensare che anche nel punto a si ruotasse attorno all'asse y, mentre era chiaramente detto che era attorno all'asse x. Correggendo, sono d'accordo.