Calcolo volume come "somma" di infinite sezioni
Anche nella prova di maturità di quest'anno (come in quella dell'anno scorso) c'era il calcolo di un volume che si risolveva con un integrale sulle infinite sezioni del solido con piani ortogonali ad un determinato segmento (vedi Problema 1, punto 4, liceo ordinario).
Confesso che nonostante io sapessi come risolverlo, non ho trovato nei miei libri di testo un riferimento teorico sul perchè si può calcolare quel volume sfruttando il calcolo integrale.
Nel libro adottato nella mia classe (il Bergamini della Zanichelli) si fa riferimento solo al volume dei solidi di rotazione, ma anche sul famoso Dodero Baronicini non ho trovato nulla.
Ho vaghe reminiscenze sulla geometria solida euclidea e l'idea che il volume possa essere visto come somma di infinite sezioni mi suona...
Il riferimento teorico più vicino che mi è venuto in mente è qualcosa che abbia a che fare con il principio di Cavalieri, ma quello parla del confronto fra 2 solidi studiandone le sezioni.
Esempi di calcoli di volumi di questo tipo, che voi vi ricordiate, sono molto frequenti nelle prove di maturità?
Confesso che nonostante io sapessi come risolverlo, non ho trovato nei miei libri di testo un riferimento teorico sul perchè si può calcolare quel volume sfruttando il calcolo integrale.
Nel libro adottato nella mia classe (il Bergamini della Zanichelli) si fa riferimento solo al volume dei solidi di rotazione, ma anche sul famoso Dodero Baronicini non ho trovato nulla.
Ho vaghe reminiscenze sulla geometria solida euclidea e l'idea che il volume possa essere visto come somma di infinite sezioni mi suona...
Il riferimento teorico più vicino che mi è venuto in mente è qualcosa che abbia a che fare con il principio di Cavalieri, ma quello parla del confronto fra 2 solidi studiandone le sezioni.
Esempi di calcoli di volumi di questo tipo, che voi vi ricordiate, sono molto frequenti nelle prove di maturità?
Risposte
Non so dirti se calcoli di questo genere sono frequenti alla maturità, ma mi stupisci dicendo che alcuni testi non li riportano; purtroppo non li ho sottomano per verificare. Ti consiglio di controllarli bene, guardando anche le pagine che introducono l'integrale definito; è probabile che la risposta che cerchi sia lì. Calcoli di questo genere sono comuni; sono anche il metodo più semplice (almeno secondo me) per dimostrare la formula del volume della piramide.
Una curiosità: come facevi a sapere come risolverlo? Scienza infusa?
Una curiosità: come facevi a sapere come risolverlo? Scienza infusa?
"giammaria":
Non so dirti se calcoli di questo genere sono frequenti alla maturità, ma mi stupisci dicendo che alcuni testi non li riportano; purtroppo non li ho sottomano per verificare. Ti consiglio di controllarli bene, guardando anche le pagine che introducono l'integrale definito; è probabile che la risposta che cerchi sia lì. Calcoli di questo genere sono comuni; sono anche il metodo più semplice (almeno secondo me) per dimostrare la formula del volume della piramide.
Una curiosità: come facevi a sapere come risolverlo? Scienza infusa?
Anzitutto grazie per la risposta.
Parto dall'ultima domanda: sapevo come si faceva perchè avevo visto corretto il tema della maturità dell'anno scorso e perchè l'idea del calcolo del volume come "somma di sezioni" è molto intuitiva.
Ho però fatto una rapida ricerca su tutti i testi di matematica che ho in casa, sia per le superiori (Zwirner, Dodero, Bergamini, Fraschini-Grazzi, Scaglianti, Fico, Prodi) sia per l'università (Giusti, Vinti). Gli unici testi che riportano il calcolo del volume del solido in quel modo e non si limitano ai soli solidi di rotazione sono lo Scaglianti (Pianeta R, Editrice La Scuola, 2009) e il Prodi (Scoprire la matematica, Ghisetti e Corvi, 2006): il primo lo fa in modo molto intuitivo parlando dell'approssimazione del volume del solido con la somma dei volumi di cilindretti ottenuti appunto tramite n sezioni, il secondo molto più rigoroso con un teorema introdotto dopo il concetto di misurabilità dei solidi.
Da studente non mi era mai capitato di vedere questo approccio trattato nella teoria ed essendomelo ritrovato ora per due volte di seguito alla maturità la cosa mi stupiva un poco: mi chiedo se siano solo i libri di testo a trascurarlo e quindi in concreto in realtà gli insegnanti svolgono l'argomento ugualmente, oppure se sia un argomento "marginale" che ha fatto nuovamente capolino alla maturità.
puoi considerare un integrale
definito come "Somma" di infiniti valori di una funzione di una variabile (moltiplicati per un infinitesimo), per un certo intervallo chiuso di variazione.
In effetti la definizione
è proprio quella: il valore di un limite per n tendente ad infinito di
una somma (somma di Cauchy-Riemann).
Un quesito uguale a quello che proponi, lo stavano
risolvendo l'altra volta, una settimana fa, degli studenti che si preparavano per la maturità.
Erano alla Biblioteca Comunale, seduti fuori, sulle panchine, e parlavano. Siccome
sono "un chiaccherone", quando si tratta di matematica, sentendo, come domanda tra di loro, "integrale di ln(x)?...", mi inserìi nella discussione
dicendo: "è x(lnx -1)" , poichè è uno dei miei "integrali preferiti"
.
Insomma, ci si mise a parlare, e poi si affrontò proprio un esercizio simile. Ed io, per fare un esempio, presi un
libro e dissi: "guarda, considera ogni sezione come una pagina, e tu ne "sommi" di infinite su x...".
Il punto è che l'integrale definito è proprio quello: per ogni punto delle "x" tu hai un certo 'valore'. Per qualunque funzione (continua) di x, "integrare" è proprio "sommare" questi infiniti valori, ognuno moltiplicato un ...infinitesimo.
Nel tuo caso, per una certa "x" hai una certa area, l'area di una sezione di solido; moltiplicata dx ti dà
un "pezzettino" di volume. "sommando" queste infiniti contributi elementari di volume, hai tutto il volume.
definito come "Somma" di infiniti valori di una funzione di una variabile (moltiplicati per un infinitesimo), per un certo intervallo chiuso di variazione.
In effetti la definizione
è proprio quella: il valore di un limite per n tendente ad infinito di
una somma (somma di Cauchy-Riemann).
Un quesito uguale a quello che proponi, lo stavano
risolvendo l'altra volta, una settimana fa, degli studenti che si preparavano per la maturità.
Erano alla Biblioteca Comunale, seduti fuori, sulle panchine, e parlavano. Siccome
sono "un chiaccherone", quando si tratta di matematica, sentendo, come domanda tra di loro, "integrale di ln(x)?...", mi inserìi nella discussione
dicendo: "è x(lnx -1)" , poichè è uno dei miei "integrali preferiti"
.Insomma, ci si mise a parlare, e poi si affrontò proprio un esercizio simile. Ed io, per fare un esempio, presi un
libro e dissi: "guarda, considera ogni sezione come una pagina, e tu ne "sommi" di infinite su x...".
Il punto è che l'integrale definito è proprio quello: per ogni punto delle "x" tu hai un certo 'valore'. Per qualunque funzione (continua) di x, "integrare" è proprio "sommare" questi infiniti valori, ognuno moltiplicato un ...infinitesimo.
Nel tuo caso, per una certa "x" hai una certa area, l'area di una sezione di solido; moltiplicata dx ti dà
un "pezzettino" di volume. "sommando" queste infiniti contributi elementari di volume, hai tutto il volume.
anche sul mio libro non c'è nessun riferimento preciso alla questione, ma penso che sia piuttosto intuitiva una volta compreso il significato dell'integrale definito.
comunque io per la seconda parte del volume del solido, invece di integrare da 1 a 2 il quadrato della funzione semicirconferenza, ho integrato da 0 a PI/3 il quadrato della funzione r*sen(x) dove r è il raggio della circonferenza( = 2 ); il risultato mi viene sbagliato, il problema è che non capisco come mai non si possa svolgere in questo modo! l'altezza di un punto di una circonferenza di raggio r non è mica dato da r*seno dell'angolo che individua quel punto? help! grazie in anticipo
comunque io per la seconda parte del volume del solido, invece di integrare da 1 a 2 il quadrato della funzione semicirconferenza, ho integrato da 0 a PI/3 il quadrato della funzione r*sen(x) dove r è il raggio della circonferenza( = 2 ); il risultato mi viene sbagliato, il problema è che non capisco come mai non si possa svolgere in questo modo! l'altezza di un punto di una circonferenza di raggio r non è mica dato da r*seno dell'angolo che individua quel punto? help! grazie in anticipo
Così facendo la tua incognita diventa l'angolo, ma questo metodo puoi usarlo solo per il volume della parte di solido a base triangolare...quando devi calcolare il volume del solido che ha per base il triangolo mistilineo, a che angolo puoi riferirti? 
Comunque, la questione è stata proposta più volte nelle prove di maturità degli ultimi anni, precisamente:
- quesito 1 del 2007
- quesito 7 del 2008, sessione suppletiva
- quarto punto del problema 1 del 2008 (che però si poteva affrontare anche senza gli integrali considerando il solido come somma di due piramidi)
direi che sta diventando quasi un topos da problema di maturità
Comunque, la questione è stata proposta più volte nelle prove di maturità degli ultimi anni, precisamente:
- quesito 1 del 2007
- quesito 7 del 2008, sessione suppletiva
- quarto punto del problema 1 del 2008 (che però si poteva affrontare anche senza gli integrali considerando il solido come somma di due piramidi)
direi che sta diventando quasi un topos da problema di maturità
Scusate la mia intromissione nella discussione; in effetti non in tutti i testi si affronta il "metodo delle sezioni normali". A mio avviso è una grave carenza, anche se intuitivamente si tratta di un risultato immediato (se si segue la linea che scelgono parecchi autori, come il citato Scaglianti). Vorrei sapere invece come affronta l'argomento Prodi in "Scoprire la matematica". Non sono in possesso di questo testo, ma mi piacerebbe informarmi... Dal momento che Squonk ha questo libro, potrebbe darmi qualche delucidazione in merito?
Vi ringrazio anticipatamente.
Vi ringrazio anticipatamente.
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