Calcolo sommatoria
Mi trovo in difficolta' nella risoluzione di questo esercizio:
calcolare la somma delle prime 10 potenze dispari di 3:
$sum_{k=0}^9 3^(2k+1)$
Non so proprio da dove iniziare....
calcolare la somma delle prime 10 potenze dispari di 3:
$sum_{k=0}^9 3^(2k+1)$
Non so proprio da dove iniziare....
Risposte
Innanzitutto, sfrutta le proprietà delle potenze, cioè $ \sum_{k=0}^9 3^(2k+1)=\sum_{k=0}^9 (3^2)^(k)*3=3\sum_{k=0)^9(9^k) $. A questo punto cosa puoi dire?
Quella sommatoria non è altro che
$3+3^3+3^5+...+3^17+3^19$
cioè una serie geometrica.
La ragione della progressione è, come puoi ben vedere, $3^2$, infatti il rapporto tra un termine e il precedente è proprio quello.
Se non ricordo la formuletta (come non la ricordo io, a primo impatto) puoi procedere come si è fatto per ricavarla nel caso generale.
Devi trovare $S$
$S=3^1+3^3+...+3^17+3^19$ e moltiplicando ambo i membro per la ragione ($3^2$) ottengo
$9S=3^3+3^5+...+3^19+3^21$
Sottraendo la prima alla seconda, se ne va un sacco di roba e puoi ottenere una forma di $S$ decente.
Prova, ed eventualmente facci sapere.
Ciao!
$3+3^3+3^5+...+3^17+3^19$
cioè una serie geometrica.
La ragione della progressione è, come puoi ben vedere, $3^2$, infatti il rapporto tra un termine e il precedente è proprio quello.
Se non ricordo la formuletta (come non la ricordo io, a primo impatto) puoi procedere come si è fatto per ricavarla nel caso generale.
Devi trovare $S$
$S=3^1+3^3+...+3^17+3^19$ e moltiplicando ambo i membro per la ragione ($3^2$) ottengo
$9S=3^3+3^5+...+3^19+3^21$
Sottraendo la prima alla seconda, se ne va un sacco di roba e puoi ottenere una forma di $S$ decente.
Prova, ed eventualmente facci sapere.
Ciao!
Ricordati
$ \sum_{k=0}^n a_0*q^{k}=a_0*(1-q^{n+1})/(1-q) $, dove $q != 1$ è la ragione e $ a_0 $ è il primo termine della progressione geometrica ok? Nel tuo caso hai che $ a_0=3 $ e $q=9$. Il gioco ora è fatto!
$ \sum_{k=0}^n a_0*q^{k}=a_0*(1-q^{n+1})/(1-q) $, dove $q != 1$ è la ragione e $ a_0 $ è il primo termine della progressione geometrica ok? Nel tuo caso hai che $ a_0=3 $ e $q=9$. Il gioco ora è fatto!
Ok credo di esserci arrivato 
In effetti sfruttando la proprieta' delle potenze $sum_{k=0}^9 3^(2k+1)$ e' equivalente a $sum_{k=0}^9 ((3^2)^k)*3$
ovvero $sum_{k=0}^9 (9^k)*3$
Ora essendo quest'ultima una sommatoria per un termine costante, porto la costante a sinistra della sommatoria:
$3*sum_{k=0}^9 9^k$
$sum_{k=0}^9 9^k$ e' esprimibile anche come $(1-9^(9+1))/(1-9)$
da cui arrivo a $3*((1-9^(9+1))/(1-9))$
procedendo ottengo: $3*(1-9^10)/(1-9)=3*((1-9^10)/-8)=-(3/8)*(1-9^10)$
moltiplico per -1 ottengo $3/8*(9^10-1)$ che e' la soluzione richiesta.
Spero di non aver fatto pasticci
In effetti sfruttando la proprieta' delle potenze $sum_{k=0}^9 3^(2k+1)$ e' equivalente a $sum_{k=0}^9 ((3^2)^k)*3$
ovvero $sum_{k=0}^9 (9^k)*3$
Ora essendo quest'ultima una sommatoria per un termine costante, porto la costante a sinistra della sommatoria:
$3*sum_{k=0}^9 9^k$
$sum_{k=0}^9 9^k$ e' esprimibile anche come $(1-9^(9+1))/(1-9)$
da cui arrivo a $3*((1-9^(9+1))/(1-9))$
procedendo ottengo: $3*(1-9^10)/(1-9)=3*((1-9^10)/-8)=-(3/8)*(1-9^10)$
moltiplico per -1 ottengo $3/8*(9^10-1)$ che e' la soluzione richiesta.
Spero di non aver fatto pasticci
L'esercizio è corretto, sono daccordo.
Però adesso dovrebbe sorgere un dubbio: $9^10-1$ è divisibile per $8$??
sì perchè la somma di $n$ termini interi è intera, e si può anche fare con la calcolatrice volendo, ma come dimostrarlo?
Giusto per approfondire l'esercizio...
Però adesso dovrebbe sorgere un dubbio: $9^10-1$ è divisibile per $8$??
sì perchè la somma di $n$ termini interi è intera, e si può anche fare con la calcolatrice volendo, ma come dimostrarlo?
Giusto per approfondire l'esercizio...
si e' divisibile, infatti viene 1307544150.
Ok, si sapeva che era divisibile se no avevamo sbagliato qualcosa di grave tutti... 
io dicevo che può essere interessante dimostrare che $8|9^10 -1$ ovvero che $8$ divide $9^10 -1$
io dicevo che può essere interessante dimostrare che $8|9^10 -1$ ovvero che $8$ divide $9^10 -1$
"blackbishop13":
io dicevo che può essere interessante dimostrare che $8|9^10 -1$ ovvero che $8$ divide $9^10 -1$
. Nota che potremmo decomporre anche $x^5+1$ ma non è necessario Un altro metodo potrebbe essere:
Concordo con l'amico Mathematico.
Il secondo metodo è quello che ci si aspettava visto l'esercizio, comunque è senza dubbio corretto, così come il primo.
inserisco il mio, che secondo me è più veloce (però bisogna ricordarsi o ricavare una proprietà)
$9-=1$ $mod8$ quindi $9^10-=1^10$ $mod8$ quindi $9^10 - 1-=0$ $mod8$ ovvero $8|9^10 -1$
si sfrutta questa proprietà: $a-=b$ $modk$ allora $a^n-=b^n$ $modk$ $AA n in NN_0$
inserisco il mio, che secondo me è più veloce (però bisogna ricordarsi o ricavare una proprietà)
$9-=1$ $mod8$ quindi $9^10-=1^10$ $mod8$ quindi $9^10 - 1-=0$ $mod8$ ovvero $8|9^10 -1$
si sfrutta questa proprietà: $a-=b$ $modk$ allora $a^n-=b^n$ $modk$ $AA n in NN_0$
"blackbishop13":
[...]si sfrutta questa proprietà: $a-=b$ $modk$ allora $a^n-=b^n$ $modk$ $AA n in NN_0$
Bellissima! Non ci avevo proprio pensato
[OT]Mi chiedo però se alle superiori venga spiegata l'aritmetica modulare
[/OT]
Non lo so, alle superiori che ho fatto io (Liceo scientifico tradizionale) no...
magari in altre scuole sì.
comunque per la soluzione di questo esercizio basta uno studio non molto approfondito dell'aritmetica modulare, io non ci ho dedicato moltissimo tempo, eppure qualcosa riesco a farlo.. Purttroppo con esercizi più difficili non me la cavo così facilmente.
magari in altre scuole sì.
comunque per la soluzione di questo esercizio basta uno studio non molto approfondito dell'aritmetica modulare, io non ci ho dedicato moltissimo tempo, eppure qualcosa riesco a farlo.. Purttroppo con esercizi più difficili non me la cavo così facilmente.
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