Calcolo logaritmo

[luca961]

Salve, conoscete un metodo efficiente per calcolare (a mano) $log_{\sqrt{2}-1}10^{-4}$ ?? Almeno per quanto riguarda l'unità...

[Zero87]

Ne conosco uno interessante che "dovrebbe" dare risultati interessanti in tempi ragionevoli. Però si serve delle serie di Taylor (o del polinomio di Taylor o della formula di Taylor... chiamatela come volete) che non so se l'hai fatta alle superiori.

In generale, però, se ti è permesso consultare tavole logaritmiche (quelle classiche in base $e$), puoi comunque utilizzare la proprietà del logaritmo

$log_a (b) = \frac{log_x (b)}{log_x (a)}$.

(Nel nostro caso,$x=e$).

[giammaria2]

Suggerirei piuttosto $x=10$, con cui $log10^(-4)=-4$. Per il denominatore occorre ricordare a mente almeno le prime cifre di $sqrt2$ e di $log2$; si ha allora approssimativamente
$log(sqrt2-1)=log(1,4-1)=log \frac 4 (10)=2log2-1=2*0,3-1=-0,4$
Di conseguenza
$log_(sqrt2-1)10^-4=(-4)/(-0,4)=10$
Il risultato dato dalla calcolatrice è $10,45$.

[Zero87]

"giammaria":Suggerirei piuttosto $x=10$

Avevo in mente il mio testo delle superiori che alla fine aveva tavole logaritmiche liberamente consultabili per calcoli a mano... Per questo ho consigliato la $e$.

"giammaria":Per il denominatore occorre ricordare a mente almeno le prime cifre di $sqrt2$ e di $log2$; si ha allora approssimativamente
$log(sqrt2-1)=log(1,4-1)=log \frac 4 (10)=2log2-1=2*0,3-1=-0,4$

C'è, comunque, una procedura abbastanza agevole per il calcolo di una radice quadrata che alle superiori conoscevo (perché la insegnano) ma che ora...

[Pianoth]

Ti riferisci forse al metodo babilonese?

[Zero87]

"Pianoth":Ti riferisci forse al metodo babilonese?

Ah non mi ricordo come si chiama.
Però ricordo che funzionava come una divisione e si dividevano le cifre in gruppi di due a partire dall'unità...

[Pianoth]

Allora non è quello

[luca961]

Grazie mille Taylor lo conosco, ma in questi casi non è il massimo... Per il calcolo della radice quadrata c' era un metodo molto carino che abbiamo studiato al 2° anno ed era caratterizzato da una rapidissma convergenza!

[Zero87]

"luca96":Per il calcolo della radice quadrata c' era un metodo molto carino che abbiamo studiato al 2° anno ed era caratterizzato da una rapidissma convergenza!

Solo io ne ricordo uno simile ad una divisione?

(Eh... sto invecchiando!)

[Pianoth]

Simile ad una divisione c'è l'algoritmo di Bombelli, che però calcola una cifra per volta... Il più veloce è probabilmente il metodo iterativo di Newton (che se non ricordo male sfrutta il metodo delle tangenti)