Calcolo limiti con cambiamento di variabile

[KatieP]

Lim per x che tende a 0 di (arcsenx + arctgx)/ (senx + 3x)
Devo arrivare al limite notevole senx/x = 1 sfruttando il cambiamento di variabile. Aiutatemi per favore, sto impazzendo.


Ah, anche questo : lim per x che tende a a -4 di tg(pigreco*x) / ( 2x + 8)

[donald_zeka]

Io farei una sostituzione con infinitesimi dello stesso ordine, si ha che per $x->0$ :

$sin(x) ~ tan(x) ~ x$

$arcsin(x) ~ arctan(x)$

Sostituendo dovrebbe risultati il limite $l=1/2$.

[donald_zeka]

O più semplicemente, se non hai studiato gli infinitesimi, dividerei e moltiplicherei tutto per $x$ ottenendo $4$ limiti notevoli da sommare.

[@melia]

Posto $sin x=y$ ottieni $x= arcsin y$, allora $sin x/x=y/arcsiny$ e quando $x->0$ anche $y->0$, perciò
$lim_(x->0) sinx/x = lim_(y->0) y/arcsiny=1$, in modo analogo, magari con qualche passaggio in più, dimostri che $lim_(x->0) arctanx/x =1$
Tornando al limite iniziale
$lim_(x->0) (arcsinx + arctanx)/ (sinx + 3x) =$ dividendo numeratore e denominatore per x ottieni
$lim_(x->0) (arcsinx/x + arctanx/x)/ (sinx/x + 3) = (1+1)/(1+3)=1/2$

Nel secondo limite invece devi porre $x+4=y$ ovvero $x=y-4$