Calcolo limite per dimostrazione di derivabilità.
Salve, quest'anno ho iniziato a studiare le derivate, devo dire non senza problemi...il fatto è che anche i limiti fatti l'anno scorso non li ho proprio assimilati a dovere, ed adesso mi ritrovo a non sapere il perché di un risultato non sapendo fare un limite.
In pratica si tratta della dimostrazione delle funzioni continue ma non derivabili, la funzione considerata è:
f(x)=$x^2+|x-1|$
Vien detto che per x0=1, il rapporto incrementale ha limite destro e sinistro diversi, potresti farmi capire il perché spiegandomi come risolvere poi il limite che si viene a creare?
Grazie, ciao.
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Admin: Esercizi limiti
In pratica si tratta della dimostrazione delle funzioni continue ma non derivabili, la funzione considerata è:
f(x)=$x^2+|x-1|$
Vien detto che per x0=1, il rapporto incrementale ha limite destro e sinistro diversi, potresti farmi capire il perché spiegandomi come risolvere poi il limite che si viene a creare?
Grazie, ciao.
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Admin: Esercizi limiti
Risposte
benvenuto/a nel forum.
a sinistra di 1, |x-1|=-x+1,
mentre a destra di 1, |x-1|=x-1
ti è chiaro questo?
ebbene, devi fare due limiti diversi, considerando che
$f(x)={[x^2-x+1" if "x<1], [x^2+x-1" if "x>=1] :}$
puoi applicare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale nei due intorni,
oppure anche calcolarti le derivate sinistra e destra e trovare i limiti di entrambe per x->1
spero di essere stata chiara. se non eri a conoscenza del primo passaggio, faccelo sapere. ciao.
a sinistra di 1, |x-1|=-x+1,
mentre a destra di 1, |x-1|=x-1
ti è chiaro questo?
ebbene, devi fare due limiti diversi, considerando che
$f(x)={[x^2-x+1" if "x<1], [x^2+x-1" if "x>=1] :}$
puoi applicare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale nei due intorni,
oppure anche calcolarti le derivate sinistra e destra e trovare i limiti di entrambe per x->1
spero di essere stata chiara. se non eri a conoscenza del primo passaggio, faccelo sapere. ciao.
Eh, sapevo del primo passaggio una volta, adesso mi si era dimenticato 
Comunque il fatto è che sul libro dà la dimostrazione col rapporto incrementale, in pratica inserisce il rapporto incrementale per x0=1 e poi fa il limite per delta x che tende a 0 meno e 0 più e fa vedere che escono diversi i limiti: 1 e 3.
Non ho capito come avvenga ciò...il fatto è che ancora non ho preso confidenza con l'inserimento delle formule, se no vi inserivo direttamente il limite in questione...
Comunque il fatto è che sul libro dà la dimostrazione col rapporto incrementale, in pratica inserisce il rapporto incrementale per x0=1 e poi fa il limite per delta x che tende a 0 meno e 0 più e fa vedere che escono diversi i limiti: 1 e 3.
Non ho capito come avvenga ciò...il fatto è che ancora non ho preso confidenza con l'inserimento delle formule, se no vi inserivo direttamente il limite in questione...
devi prendere la definizione di rapporto incrementale e applicarla alle due funzioni, una con h<0, una con h>0:
hai f1(x)=x^2-x+1, f2(x)=x^2+x-1
f1(x+h)=(x+h)^2-(x+h)+1
f2(x+h)=(x+h)^2+(x+h)-1
sai andare avanti, a scrivere uno per volta i due rapporti incrementali?
prova e fatti risentire. ciao.
hai f1(x)=x^2-x+1, f2(x)=x^2+x-1
f1(x+h)=(x+h)^2-(x+h)+1
f2(x+h)=(x+h)^2+(x+h)-1
sai andare avanti, a scrivere uno per volta i due rapporti incrementali?
prova e fatti risentire. ciao.
Sul libro è fatto diverso, ho capito adesso come si risolve quel limite, basta mettere in evidenza.
Il mio problema comunque è che tutto ciò mi è ancora molto astratto!
Cioè, pensiamo alla definizione di derivata: essa è il limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell'incremento sulle ascisse. Bene.
Ma a me che mi serve sapere ciò? Cioè, spostandomi lentamente verso x0 arriverò ad avere il coefficiente angolare della retta tangente in x0 alla curva giusto? Ma alla fin fine che cosa è questo coefficiente angolare? Io so solo che è quel parametro che ci indica come è inclinata questa retta, se m>0 angolo acuto con asse x, se m<0 angolo ottuso con l'asse x. Ok.
Ma poi come mi spiego, parlando qui di coefficiente angolare, che la derivata di senx è cosx??? Cioè, una funzione come coefficiente angolare???
O ancora: che significa che in un cuspide le due derivate sono diverse in quanto i due m valgono - e + infinito?
La mia prof parla come se a noi ci fosse tutto chiaro, come se stesse parlando con dei matematici, mentre noi siamo molto più indietro.
Per farvi un esempio, io dovrei essere uno di quelli che più se la cavano in matematica in classe mia, eppure so di non avere chiari questi concetti: saprò risolvere esercizi di derivazione di funzioni composte per esempio, ma appena fai a scavare più in giù, appena cerchi di vedere se padroneggio davvero il concetto, si vede che non è così, come per esempio da un grafico non so dirti se una funzione è derivabile o meno la maggior parte delle volte...
Io sono convinto che bisogna comprendere ciò che si fa, non limitarsi a fare degli esercizi meccanicamente, ma che poi alla fin fine, non si sa nemmeno ciò che si sta facendo e, secondo me, molto spesso è ciò che accade tra i ragazzi.
Comunque noi essendo indietro con il programma abbiamo iniziato adesso a settembre con le derivate(in quinto) e quindi non è nemmeno un mese che ce ne abbiamo a che fare.
Ciao.
Il mio problema comunque è che tutto ciò mi è ancora molto astratto!
Cioè, pensiamo alla definizione di derivata: essa è il limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell'incremento sulle ascisse. Bene.
Ma a me che mi serve sapere ciò? Cioè, spostandomi lentamente verso x0 arriverò ad avere il coefficiente angolare della retta tangente in x0 alla curva giusto? Ma alla fin fine che cosa è questo coefficiente angolare? Io so solo che è quel parametro che ci indica come è inclinata questa retta, se m>0 angolo acuto con asse x, se m<0 angolo ottuso con l'asse x. Ok.
Ma poi come mi spiego, parlando qui di coefficiente angolare, che la derivata di senx è cosx??? Cioè, una funzione come coefficiente angolare???
O ancora: che significa che in un cuspide le due derivate sono diverse in quanto i due m valgono - e + infinito?
La mia prof parla come se a noi ci fosse tutto chiaro, come se stesse parlando con dei matematici, mentre noi siamo molto più indietro.
Per farvi un esempio, io dovrei essere uno di quelli che più se la cavano in matematica in classe mia, eppure so di non avere chiari questi concetti: saprò risolvere esercizi di derivazione di funzioni composte per esempio, ma appena fai a scavare più in giù, appena cerchi di vedere se padroneggio davvero il concetto, si vede che non è così, come per esempio da un grafico non so dirti se una funzione è derivabile o meno la maggior parte delle volte...
Io sono convinto che bisogna comprendere ciò che si fa, non limitarsi a fare degli esercizi meccanicamente, ma che poi alla fin fine, non si sa nemmeno ciò che si sta facendo e, secondo me, molto spesso è ciò che accade tra i ragazzi.
Comunque noi essendo indietro con il programma abbiamo iniziato adesso a settembre con le derivate(in quinto) e quindi non è nemmeno un mese che ce ne abbiamo a che fare.
Ciao.
con l'altro metodo è più semplice, anche se presuppone già la conoscenza delle derivate delle funzioni fondamentali, e secondo alcuni "puristi" è meglio evitare di applicarlo (però per questioni importanti legate allo studio della derivabilità in un punto, cosa che qui può essere sorvolata):
ti calcoli le due derivate:
f1'(x)=2x-1, nell'intorno sinistro, limite per x->1- = 1
f2'(x)=2x+1, nell'intorno destro, limite per x->1+ = 3
per quanto riguarda le derivate, si parla di coefficiente angolare soprattutto per avere un'interpretazione grafica di quanto si sta dicendo, ma in realtà è più il calcolo delle derivate che aiuta la geometria analitica che viceversa. devi applicare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale alle principali funzioni e le varie regole (algebra delle derivate) per le altre funzioni più complesse.
per quanto riguarda le funzioni goniometriche, per la derivata sia del seno sia del coseno si usano le formule di prostaferesi, le altre si ricavano dalle formule, ad esempio la tangente come rapporto tra seno e coseno, per derivarla si applica la regola della derivata di un rapporto e i risultati delle derivate di seno e coseno...
poi, per lo studio dei punti singolari, ci sono altre definizioni... vanno studiate e ricordate quando si fa lo studio completo di una funzione.
spero di essere stata chiara. ciao.
ti calcoli le due derivate:
f1'(x)=2x-1, nell'intorno sinistro, limite per x->1- = 1
f2'(x)=2x+1, nell'intorno destro, limite per x->1+ = 3
per quanto riguarda le derivate, si parla di coefficiente angolare soprattutto per avere un'interpretazione grafica di quanto si sta dicendo, ma in realtà è più il calcolo delle derivate che aiuta la geometria analitica che viceversa. devi applicare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale alle principali funzioni e le varie regole (algebra delle derivate) per le altre funzioni più complesse.
per quanto riguarda le funzioni goniometriche, per la derivata sia del seno sia del coseno si usano le formule di prostaferesi, le altre si ricavano dalle formule, ad esempio la tangente come rapporto tra seno e coseno, per derivarla si applica la regola della derivata di un rapporto e i risultati delle derivate di seno e coseno...
poi, per lo studio dei punti singolari, ci sono altre definizioni... vanno studiate e ricordate quando si fa lo studio completo di una funzione.
spero di essere stata chiara. ciao.
Agomath , non ti devi stupire che la derivata di una funzione sia ancora una funzione 
Ad esempio, come dici la derivata di $sen x $ è $ cosx $ : il che vuol dire che per ogni punto di ascissa $x $ tu sai quanto valga la funzione stessa ( $sen x $) ma anche quale sia il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto.
Es . $x= pi/3 ; sen pi/3 = sqrt(3)/2 ; cos (pi/3) = 1/2 $.
Quindi il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione $senx $ nel suo punto di coordinate $ A(pi/3; sqrt(3)/2) $ vale $1/2 $.
A questo punto è facile determinare l'equazione della retta tangente alla curva in A : basta ricordare l'equazione del fascio di rette passanti per un punto $x_0,y_0 $ che è $ y-y_0 =m (x-x_0 )$ essendo $x_0,y_0 $ le coordinate di A e $m=1/2 $ per ottenere $y-sqrt(3)/2 =1/2(x-pi/3) $.
Ad esempio, come dici la derivata di $sen x $ è $ cosx $ : il che vuol dire che per ogni punto di ascissa $x $ tu sai quanto valga la funzione stessa ( $sen x $) ma anche quale sia il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto.
Es . $x= pi/3 ; sen pi/3 = sqrt(3)/2 ; cos (pi/3) = 1/2 $.
Quindi il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione $senx $ nel suo punto di coordinate $ A(pi/3; sqrt(3)/2) $ vale $1/2 $.
A questo punto è facile determinare l'equazione della retta tangente alla curva in A : basta ricordare l'equazione del fascio di rette passanti per un punto $x_0,y_0 $ che è $ y-y_0 =m (x-x_0 )$ essendo $x_0,y_0 $ le coordinate di A e $m=1/2 $ per ottenere $y-sqrt(3)/2 =1/2(x-pi/3) $.
Esempio abusato di funzione continua ma non derivabile in $x=0 $ , ove presenta un punto angoloso è $y=|x| $ ; perchè un punto sia considerato punto angoloso bisogna che la derivata destra e sinistra esistano ma siano diverse , nel caso valgono $1 $ e $-1 $ rispettivamente.
Cuspide -Un esempio di funzione che in $x=0 $ ha un punto di cuspide è $y =sqrt |x| $ ; la derivata destra tende a $+oo$ , quella sinistra tende a $-oo$. Se fai un disegno puoi "toccare con mano "...
Cuspide -Un esempio di funzione che in $x=0 $ ha un punto di cuspide è $y =sqrt |x| $ ; la derivata destra tende a $+oo$ , quella sinistra tende a $-oo$. Se fai un disegno puoi "toccare con mano "...
"Camillo":
Agomath , non ti devi stupire che la derivata di una funzione sia ancora una funzione
Ad esempio, come dici la derivata di $sen x $ è $ cosx $ : il che vuol dire che per ogni punto di ascissa $x $ tu sai quanto valga la funzione stessa ( $sen x $) ma anche quale sia il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto.
Es . $x= pi/3 ; sen pi/3 = sqrt(3)/2 ; cos (pi/3) = 1/2 $.
Quindi il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione $senx $ nel suo punto di coordinate $ A(pi/3; sqrt(3)/2) $ vale $1/2 $.
A questo punto è facile determinare l'equazione della retta tangente alla curva in A : basta ricordare l'equazione del fascio di rette passanti per un punto $x_0,y_0 $ che è $ y-y_0 =m (x-x_0 )$ essendo $x_0,y_0 $ le coordinate di A e $m=1/2 $ per ottenere $y-sqrt(3)/2 =1/2(x-pi/3) $.
Uhm...forse comincio a capire
Grazie per la risposta, ciao.
Un esempio ancora più semplice sempre per la funzione $y = senx $ ; vogliamo determinare la equazione della retta tangente alla funzione $ y = sen x $ nel punto di ascissa $x=0 $ .
La funzione $sen x $ vale $0 $ per $x=0 $ .
La derivata $cos x $ vale $1$ per $x=0 $ .
Quindi l'equazione della retta tangente è $y-0 =1(x-0)$ -----> $y=x $ , cioè la bisettrice del I e III quadrante .
La funzione $sen x $ vale $0 $ per $x=0 $ .
La derivata $cos x $ vale $1$ per $x=0 $ .
Quindi l'equazione della retta tangente è $y-0 =1(x-0)$ -----> $y=x $ , cioè la bisettrice del I e III quadrante .
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