Calcolo limite.
Salve, mi sono imbattuto nel seguente problema:
$\lim_{x\to \infty}((x^3-2x^2-4x+8)/x)$
Andando a mettere in evidenza la "x", il limite si presenta secondo la forma indeterminata $infty-infty$ che non so risolvere.
Inoltre avrei un altro quesito da porvi. Nello studio di una funzione, quali sono i limiti che devo andare a studiare? Quelli che tendono ai valori limite del campo d'esistenza? Mi spiego meglio: se andando a determinare il campo d'esistenza di una funzione, mi trovassi come risultato $x!=0$ , dovrei andare a calcolarmi i limiti per x che tende a meno infinito, a $0^-$ , a $0^+$ e a più infinito?
Grazie.
$\lim_{x\to \infty}((x^3-2x^2-4x+8)/x)$
Andando a mettere in evidenza la "x", il limite si presenta secondo la forma indeterminata $infty-infty$ che non so risolvere.
Inoltre avrei un altro quesito da porvi. Nello studio di una funzione, quali sono i limiti che devo andare a studiare? Quelli che tendono ai valori limite del campo d'esistenza? Mi spiego meglio: se andando a determinare il campo d'esistenza di una funzione, mi trovassi come risultato $x!=0$ , dovrei andare a calcolarmi i limiti per x che tende a meno infinito, a $0^-$ , a $0^+$ e a più infinito?
Grazie.
Risposte
Per il primo limite, visto che non funzione mettere in evidenza $x$... prova a mettere in evidenza $x^2$ 
(in generale comunque, in un polinomio il termine che "prevale" andando ad $\infty$ è sempre quello di grado massimo).
L'affermazione sui limiti da esaminare nello studio di funzione è giusta
(in generale comunque, in un polinomio il termine che "prevale" andando ad $\infty$ è sempre quello di grado massimo).L'affermazione sui limiti da esaminare nello studio di funzione è giusta
per i limiti a infinito bisogna mettere in evidenza il termine di grado più alto, nel tuo caso $x^3$ ... OK?
per quanto riguarda l'altra questione, sì, il limite per x->0 va trovato perché 0 è un punto "isolato" in cui la funzione non è definita, cioè è di accumulazione ed è critico. in generale vanno trovati i limiti agli estremi degli intervalli "disgiunti" che costituiscono il dominio e anche nei punti in cui si presume ci possa essere una irregolarità (cioè valori in cui si annullano gli argomenti dei "valori assoluti", o punti dove c'è una "discontinuità" nella definizione della funzione, come nelle funzioni definite a tratti).
faccio un paio di esempi, spero siano utili:
$f(x)=(1+|x+2|)/(x-5)$, qui vanno studiati i limiti a $-oo, -2^-, -2^+, 5^-, 5^+, +oo$
$g(x)={[(x+5)/(x-1)" if "x<0], [(|x-3|)/(x^2-x-2)" if "x>=0] :}$, qui vanno studiati i limiti a $-oo, 0^-, 0^+, 2^-, 2^+, 3^-, 3^+, +oo$.
ciao.
per quanto riguarda l'altra questione, sì, il limite per x->0 va trovato perché 0 è un punto "isolato" in cui la funzione non è definita, cioè è di accumulazione ed è critico. in generale vanno trovati i limiti agli estremi degli intervalli "disgiunti" che costituiscono il dominio e anche nei punti in cui si presume ci possa essere una irregolarità (cioè valori in cui si annullano gli argomenti dei "valori assoluti", o punti dove c'è una "discontinuità" nella definizione della funzione, come nelle funzioni definite a tratti).
faccio un paio di esempi, spero siano utili:
$f(x)=(1+|x+2|)/(x-5)$, qui vanno studiati i limiti a $-oo, -2^-, -2^+, 5^-, 5^+, +oo$
$g(x)={[(x+5)/(x-1)" if "x<0], [(|x-3|)/(x^2-x-2)" if "x>=0] :}$, qui vanno studiati i limiti a $-oo, 0^-, 0^+, 2^-, 2^+, 3^-, 3^+, +oo$.
ciao.
Ma seguendo questa regola, mi troverei sempre e comunque "1" (il coefficiente della x^3) come risultato..sia che andassi a calcolare il limite per x che tende ad infinito, si quello per x che tende a MENO infinito, è giusto?
$1$ è il risultato del limite dell'espressione tra parentesi. e $x^3/x$ non contano più nulla?
Sto veramente "dando i numeri"!! A quel punto potrei agire in due modi: mettere in evidenza x^3 anche al denominatore, semplificandolo con quello del numeratore, ottenendo 1/0, oppure senza mettere in evidenza nulla al denominatore, semplificare x^3/x ottenendo x^2*1= infinito, sia che il limite tendesse ad infinito, sia che lo stesso tendesse a MENO infinito.
Quale dei due procedimenti è più "logico"?
Quale dei due procedimenti è più "logico"?
$x^3$ al denominatore è una follia! l'altro metodo va bene. puoi anche osservare che, per quanto riguarda il segno, prima della semplificazione, per x->+oo num e den sono entrambi positivi, mentre per x->-oo num e den sono entrambi negativi: questo è coerente con il fatto che viene [x^2*1], positivo in entrambi i casi.
Grazie mille.
prego.
ma il risultato quindi qual è? io non avendo fatto i limiti farei il limite di $x^3/x$ e secondo me verrebbe infinito perchè $x^3$ raggiunge per prima infinito
sì, al posto di $x^3/x$ si scrive tranquillamente $x^2$, quindi il limite è $+oo$ per x che tende a + e - infinito.
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