Calcolo limite

[HowardRoark]

Devo calcolare il limite di questa successione: $lim_(n->+oo) ((2n+1)/(2n+5))^n$

Il limite si presenta nella forma indeterminata $1^oo$. Trasformo quindi l'espressione nella forma $e^(lim_(n->+oo) [nln((2n+1)/(2n+5))]$; quest'ultimo si presenta nella forma indeterminata $0*oo$.

Alla fine il limite l'ho calcolato usando Hopital, ma il procedimento è stato piuttosto lungo. Avrei potuto calcolarlo usando altri metodi?

[Laika1969]

Si, usando i limiti notevoli, come quello che da "e". Magari aggiungendo e togliendo 4 al numeratore

[HowardRoark]

Intendi $lim_(x->oo) (1+1/x)^x = e$?

Perché se è così non ho capito come avrei dovuto applicarlo in questo caso

[Bokonon]

Se sostituisci $2k=2n+5$ allora $2n=2k-5$ e il limite in k va sempre ad infinito.
Inoltre ricorda che quel limite notevole si può generalizzare a forme come $lim_(x->oo) (1+a/x)^x = e^a$

Sostituendo e massaggiando un po', otteniamo:
$lim_(k->oo) (1+(-4)/(2k))^((2k-5)/2)=lim_(k->oo) sqrt(((1+(-4)/(2k))^(2k))/(1-4/(2k))^5)=sqrt(e^(-4)/1)=1/e^2$

[HowardRoark]

"Bokonon":

Sostituendo e massaggiando un po', otteniamo:
$lim_(k->oo) (1+(-4)/(2k))^((2k-5)/2)=lim_(k->oo) sqrt(((1+(-4)/(2k))^(2k))/(1-4/(2k))^5)$

Scusa, sto avendo un po' di difficoltà con l'algebra: come passi dalla prima alla seconda espressione?

[Bokonon]

$(y^a/y^b)^c=(y^ay^(-b))^c=(y^(a-b))^c=y^(c(a-b))$
$y=(1+(-4)/(2k))$
$a=2k$
$b=5$
$c=1/2$

Ti vedo molto "anthonyzzato" oggi

[HowardRoark]

Ora è tutto chiaro.

Purtroppo non sono affatto ferrato nel calcolo dei limiti per sostituzione, quindi ogni tanto non so proprio come procedere.
Grazie mille per l'aiuto e per la pazienza!