Calcolo limite
Sono alle prese con il seguente limite:
$lim_(x->0)((2^x+5^x)/2)^(1/x)$ che mi da la forma indeterminata $1^(infty) $, usando gli asintotici che discendono dai limiti notevoli ricordo che,
$2^x=e^(log2^x)=e^(xlog2) ~(1+xlog2) $
idem per
$5^x~(1+xlog5)$ sostituendo avro':
$lim_(x->0)((1+xlog2+1+xlog5)/2)^(1/x)=lim_(x->0)((2+xlog2+xlog5)/2)^(1/x)=lim_(x->0)(1+(xlog2+xlog5)/2)^(1/x)$
sfruttando la nota proprieta' dei logaritmi ottengo:
$lim_(x->0)(1+(1/2)xlog(2×5))^(1/x)=lim_(x->0)(1+xlog(sqrt (10)))^(1/x) $
da qui moltiplicando e dividendo per la quantità $log sqrt 10 $ ad esponente, ottengo:
$lim_(x->0)((1+xlogsqrt 10)^(1/(xlogsqrt10)))^(log (sqrt10))$
$=e^(logsqrt10)=sqrt10$
Potete verificare se lo svolgimento e' corretto?
Inoltre da qui ho dedotto , non so se correttamente, che $lim_(x->0)((2^x+3^x+5^x)/3)^(1/x)=root (3) (2×3×5)=root (3)(30) $ Essendo $(2,3,5)=1$, mi sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti per le eventuali correzioni o conferme!
$lim_(x->0)((2^x+5^x)/2)^(1/x)$ che mi da la forma indeterminata $1^(infty) $, usando gli asintotici che discendono dai limiti notevoli ricordo che,
$2^x=e^(log2^x)=e^(xlog2) ~(1+xlog2) $
idem per
$5^x~(1+xlog5)$ sostituendo avro':
$lim_(x->0)((1+xlog2+1+xlog5)/2)^(1/x)=lim_(x->0)((2+xlog2+xlog5)/2)^(1/x)=lim_(x->0)(1+(xlog2+xlog5)/2)^(1/x)$
sfruttando la nota proprieta' dei logaritmi ottengo:
$lim_(x->0)(1+(1/2)xlog(2×5))^(1/x)=lim_(x->0)(1+xlog(sqrt (10)))^(1/x) $
da qui moltiplicando e dividendo per la quantità $log sqrt 10 $ ad esponente, ottengo:
$lim_(x->0)((1+xlogsqrt 10)^(1/(xlogsqrt10)))^(log (sqrt10))$
$=e^(logsqrt10)=sqrt10$
Potete verificare se lo svolgimento e' corretto?
Inoltre da qui ho dedotto , non so se correttamente, che $lim_(x->0)((2^x+3^x+5^x)/3)^(1/x)=root (3) (2×3×5)=root (3)(30) $ Essendo $(2,3,5)=1$, mi sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti per le eventuali correzioni o conferme!
Risposte
Il risultato è quello che hai indicato ma ci si può arrivare molto più semplicemente con l'Hopital ( se l'hai già studiato).
Quanto al secondo caso, in realtà l'estensione della regola dà come risultato \(\displaystyle \sqrt[3]{30} \)
Quanto al secondo caso, in realtà l'estensione della regola dà come risultato \(\displaystyle \sqrt[3]{30} \)
x@alfredo4. Grazie molte intanto per la risposta!
Se non sbaglio pero' il teorema di hopital si puo' applicare in situazioni dove si ha forma indeterminata di un rapporto $0/0$ od $infty/infty $ o riconducibili alle forme precedenti, e qui si ha una forma indeterminata $1^(infty)$ , come faresti ad applicare il teorema ?
Se non sbaglio pero' il teorema di hopital si puo' applicare in situazioni dove si ha forma indeterminata di un rapporto $0/0$ od $infty/infty $ o riconducibili alle forme precedenti, e qui si ha una forma indeterminata $1^(infty)$ , come faresti ad applicare il teorema ?
Bisogna scrivere l'espressione come potenza della e ( base dei log. naturali).
\(\displaystyle e^{\frac{ln(2^x+5^x)-ln2}{x}} \)
Passando poi al limite per x->0, all'esponente si ha la forma indeterminata $0/0$
\(\displaystyle e^{\frac{ln(2^x+5^x)-ln2}{x}} \)
Passando poi al limite per x->0, all'esponente si ha la forma indeterminata $0/0$
x@alfredo4. Sì giusto, non so perche', personalmente però mi viene più facile usare gli asintotici;
Tempo fa ho cercato di risolvere questo limite $lim_(x->0) x^x $
che si risolve facilmente con hopital, scrivendolo ovviamente nella forma $lim_(x->0)e^(xlogx) $ ed applicando hopital a $lim_(x->0)xlogx=0 $; Senza l'uso di hopital pero' non ci riuscivo,mi riconducevo sempre a forme come $(1+x)^(logx)~(1+xlogx) $ per $x->0$, e quindi alla fine ero sempre costretto ad applicare hopital alla forma $xlogx $, esiste secondo te, un modo per risolverlo senza necessariamente usare hopital?
Grazie in anticipo per la risposta!
Tempo fa ho cercato di risolvere questo limite $lim_(x->0) x^x $
che si risolve facilmente con hopital, scrivendolo ovviamente nella forma $lim_(x->0)e^(xlogx) $ ed applicando hopital a $lim_(x->0)xlogx=0 $; Senza l'uso di hopital pero' non ci riuscivo,mi riconducevo sempre a forme come $(1+x)^(logx)~(1+xlogx) $ per $x->0$, e quindi alla fine ero sempre costretto ad applicare hopital alla forma $xlogx $, esiste secondo te, un modo per risolverlo senza necessariamente usare hopital?
Grazie in anticipo per la risposta!
Per il limite di xlogx puoi fare così_
$lim_{x->0^+}{logx}/{1/x}=lim_{x->0^+}{1/x}/{-1/{x^2}}=-lim_{x->0^+}x=0$
Per l'altro limite, volendo ricorrere all'Hopital, non mi pare (a meno di particolarissimi trucchi) che ci siano strade più brevi oltre l'uso degli sviluppi asintotici o come ti ho indicato io nella precedente risposta.
$lim_{x->0^+}{logx}/{1/x}=lim_{x->0^+}{1/x}/{-1/{x^2}}=-lim_{x->0^+}x=0$
Per l'altro limite, volendo ricorrere all'Hopital, non mi pare (a meno di particolarissimi trucchi) che ci siano strade più brevi oltre l'uso degli sviluppi asintotici o come ti ho indicato io nella precedente risposta.
Ok, quindi per risolvere il limite $lim_(x->0)x^x =lim _(x->0 )e^(xlogx)=e^0=1$, essendo che $lim_(x->0)xlogx=0$ per hopital,
non ci sono altre strade che l'utilizzo di hopital. Giusto?
E dimostrare ad esempio che la successione $lim_(n->infty ) (1/n)^(1/n )=1$ non e' lo stesso che dimostrare che $lim_(x->0)x^x=1$ ?
non ci sono altre strade che l'utilizzo di hopital. Giusto?
E dimostrare ad esempio che la successione $lim_(n->infty ) (1/n)^(1/n )=1$ non e' lo stesso che dimostrare che $lim_(x->0)x^x=1$ ?
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