Calcolo integrale
Buongiorno,
avrei bisogno di una conferma su questo esercizio; il testo recita:
"Il costo marginale di produzione per x scatole di lampadine è dato dalla seguente funzione"
$10+x+x^2$
" il costo di 6 scatole di lampadine è 200 €"
Calcola la funzione di costo totale.
Prendo la definizione di costo marginale "In economia e finanza il costo marginale unitario corrisponde al costo di un'unità aggiuntiva prodotta, cioè alla variazione nei costi totali di produzione che si verifica quando si varia di un'unità la quantità prodotta: è la derivata del costo totale (C) rispetto alla quantità prodotta (q)"
A questo punto se questa funzione è la derivata della funzione di costo totale, trovo la primitiva
e ricavo la funzione di costo totale.
$int(10+x+x^2) dx$ = $10x+1/2x^2+1/3x^3$
sostituendo la quantità 6 all'interno della x dovrei trovare il costo totale.
Provo e mi risulta 150. Il testo però riporta 200.
Allora inserisco $+50$ che sarebbe la costante $+c$ da aggiungere alla primitiva
$int(10+x+x^2) dx$ = $10x+1/2x^2+1/3x^3+50$
Puo' andare come ragionamento?
Grazie mille
avrei bisogno di una conferma su questo esercizio; il testo recita:
"Il costo marginale di produzione per x scatole di lampadine è dato dalla seguente funzione"
$10+x+x^2$
" il costo di 6 scatole di lampadine è 200 €"
Calcola la funzione di costo totale.
Prendo la definizione di costo marginale "In economia e finanza il costo marginale unitario corrisponde al costo di un'unità aggiuntiva prodotta, cioè alla variazione nei costi totali di produzione che si verifica quando si varia di un'unità la quantità prodotta: è la derivata del costo totale (C) rispetto alla quantità prodotta (q)"
A questo punto se questa funzione è la derivata della funzione di costo totale, trovo la primitiva
e ricavo la funzione di costo totale.
$int(10+x+x^2) dx$ = $10x+1/2x^2+1/3x^3$
sostituendo la quantità 6 all'interno della x dovrei trovare il costo totale.
Provo e mi risulta 150. Il testo però riporta 200.
Allora inserisco $+50$ che sarebbe la costante $+c$ da aggiungere alla primitiva
$int(10+x+x^2) dx$ = $10x+1/2x^2+1/3x^3+50$
Puo' andare come ragionamento?
Grazie mille
Risposte
"gabriella127":
Ma è giustissimo, solo che bisogna sapere se si sta nel discreto o nel continuo.
In questi esercizi di economia, quando si dà una funzione di costo marginale come quella data, è sottinteso che si sta nel continuo, non lo si specifica perché è considerato troppo ovvio, ma capisco che chi lo vede dall'esterno si ponga il problema.
Gabriella scusa però effettivamente, parlando di confezioni di lampadine, riguardando quello che ha fatto ghira mi è venuto il dubbio, le confezioni di lampadine sono discrete.
"gio73":
@marco, tu sei laureato in economia e ogni tanto dai lezioni di matematica a ragazzi del liceo e primi anni università , giusto?
Questo esercizio lo hai preso per qualche lezione di liceo o si tratta di università?
Esiste una sezione specifica di matematica per l economia (moderata da Gabriella)
Si corretto sono laureato in economia e commercio, è un esercizio inviatomi da un ragazzo che sta preparando un'esame di matematica ma applicata all'economia; non sapevo della sezione di gabriella perdonatemi, altrimenti avrei postato direttamente li.
Sì, l'ho detto che il dubbio era legittimo, ma ho spiegato che si trattava di una domanda formulata con un esempio scelto male, era una svista di chi ha scritto il problema, non ci ha pensato.
E ho spiegato perché invece andava considerato un problema nel continuo: la risposta è semplice, perché in esercizi formulati così è sottinteso che si sta nel continuo, è una questione di esperienza in questo genere di problemi di microeconomia, di usanze, sarebbe stranissimo che fosse nel discreto.
Ripeto: è un esercizio molto standard nel continuo, ne ho visti a pacchi negli anni di simili, l'intento della domanda è chiarissimo.
Mai visto in tanti anni all'università insegnando economia un problema simile così formulato nel discreto e risolto nel discreto con la sommatoria. È una questione di usanze. Non si usa fare così, nessuno fa così.
Se fosse nel discreto sarebbe formulato in tutt'altro modo.
Che ha fatto se no l'estensore? Ha dato come costo marginale (che di solito si integra per trovare il costo variabile) una funzione che va considerata nel discreto e quindi è definita solo sui numeri interi e non lo dice? Bah.
Guarda poi che è un cosa che capita che ci siano domande nel continuo con esempi discreti, non ci si sta troppo a pensare, quando il succo della domanda è chiaro.
Qui la domanda andava formulata con un altro esempio, quello scelto era infelice, tutto qui.
Se poi la domanda è stata fatta da un pazzo stravagante, o un amante del discreto sui generis, che nemmeno sa spiegarsi, vabbe', è un altro paio di maniche, non è che conosco personalmente l'estensore.
Ma comunque non è che sia una questione di importanza vitale, basta capirsi, se a un esame o a lezione capita una domanda che sembra ambigua, e ne capitano con tutta la buona volonta dell'estensore, ci si alza e si va a chiedere al professore, è normale.
E ho spiegato perché invece andava considerato un problema nel continuo: la risposta è semplice, perché in esercizi formulati così è sottinteso che si sta nel continuo, è una questione di esperienza in questo genere di problemi di microeconomia, di usanze, sarebbe stranissimo che fosse nel discreto.
Ripeto: è un esercizio molto standard nel continuo, ne ho visti a pacchi negli anni di simili, l'intento della domanda è chiarissimo.
Mai visto in tanti anni all'università insegnando economia un problema simile così formulato nel discreto e risolto nel discreto con la sommatoria. È una questione di usanze. Non si usa fare così, nessuno fa così.
Se fosse nel discreto sarebbe formulato in tutt'altro modo.
Che ha fatto se no l'estensore? Ha dato come costo marginale (che di solito si integra per trovare il costo variabile) una funzione che va considerata nel discreto e quindi è definita solo sui numeri interi e non lo dice? Bah.
Guarda poi che è un cosa che capita che ci siano domande nel continuo con esempi discreti, non ci si sta troppo a pensare, quando il succo della domanda è chiaro.
Qui la domanda andava formulata con un altro esempio, quello scelto era infelice, tutto qui.
Se poi la domanda è stata fatta da un pazzo stravagante, o un amante del discreto sui generis, che nemmeno sa spiegarsi, vabbe', è un altro paio di maniche, non è che conosco personalmente l'estensore.
Ma comunque non è che sia una questione di importanza vitale, basta capirsi, se a un esame o a lezione capita una domanda che sembra ambigua, e ne capitano con tutta la buona volonta dell'estensore, ci si alza e si va a chiedere al professore, è normale.
"Marco1005":[/quote]
[quote="gio73"]
Si corretto sono laureato in economia e commercio, è un esercizio inviatomi da un ragazzo che sta preparando un'esame di matematica ma applicata all'economia; non sapevo della sezione di gabriella perdonatemi.
Al ragazzo, dl punto di vista didattico, è bene che glielo spieghi nel continuo, così impara qualcosa di utile, perché è importante questo caso, e non fa confusione.
A maggior ragione se è un esame di matematica per l'economia e non un esame di economia.
Io non so cosa poi faccia dopo nel programma di matematica per l'economia il ragazzo, ma se va avanti con costi e microeconomia varia si va avanti nel continuo con problemi di ottimizzazione vincolata, è quello il fine, e quindi con l'uso dell'analisi.
Il discreto sparisce presto in questa materia, è roba proprio iniziale iniziale, ammesso che si faccia in un esame di matematica per l'economia.
Un esercizio simile fatto nel discreto sarebbe una stravaganza confusiva.
Poi se si scopre che l'estensore voleva un esercizio nel discreto, cammuffato da esercizio standard nel continuo, vabbe', lo si fa nel discreto e lo si accontenta
.
Ultima osservazione, come aiuto didattico, poi mi taccio per sempre
Quel grafico di funzione di costo che ho messo nella soluzione dell'esercizio non l'ho messo a caso, quella è la forma più tipica di funzione di costo, con in parallelo una funzione di produzione con caratteristiche che ci somigliano.
Sono le forme usate per sviluppare tutta la teoria dell'impresa e delle varie forme di mercato, concorrenza, monopolio etc. con le famose curve di costi medio e marginale a $U$, che se se si fa microeconomia sono di default, in cui per forza ci vuole il continuo, perciò è importante spiegare il continuo e non il discreto.
Quel grafico di funzione di costo che ho messo nella soluzione dell'esercizio non l'ho messo a caso, quella è la forma più tipica di funzione di costo, con in parallelo una funzione di produzione con caratteristiche che ci somigliano.
Sono le forme usate per sviluppare tutta la teoria dell'impresa e delle varie forme di mercato, concorrenza, monopolio etc. con le famose curve di costi medio e marginale a $U$, che se se si fa microeconomia sono di default, in cui per forza ci vuole il continuo, perciò è importante spiegare il continuo e non il discreto.
"gabriella127":
Sì, l'ho detto che il dubbio era legittimo, ma ho spiegato che si trattava di una domanda formulata con un esempio scelto male, era una svista di chi ha scritto il problema, non ci ha pensato.
E ho spiegato perché invece andava considerato un problema nel continuo: la risposta è semplice, perché in esercizi formulati così è sottinteso che si sta nel continuo, è una questione di esperienza in questo genere di problemi di microeconomia, di usanze, sarebbe stranissimo che fosse nel discreto.
Ripeto: è un esercizio molto standard nel continuo, ne ho visti a pacchi negli anni di simili, l'intento della domanda è chiarissimo.
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Chiarissima Gabriella, afferrato il concetto.
Premetto che i miei ricordi di micro e macroeconomia sono al quanto appannati ma ogni tanto rileggo qualche dispensa di economia politica tanto per
Per quanto concerne le funzioni di costi variabili e costi totali da te citate, agli studenti delle superiori vengono quasi sempre presentate come rette, quindi la classica retta orizzontale dei costi fissi e in aggiunta la pendente positiva che indica i costi variabili.
Mi sorge comunque spontanea una domanda: se la funzione di costo marginale rappresenta l'incremento dei costi per una unità aggiuntiva di prodotto, se sostituisco alla $x=6$ ottengo 52 € il che dovrebbe rappresentare l'incremento di costi per una unità in più corretto? ma se raffronto il costo che otterrei con $x=5$ cioè 40, emerge che l'incremento dei costi è 12 € per il passaggio da 5 a 6 confezioni. Non riesco bene a interpretare la definizione con l'approccio pratico.
Allora quel 52 cos'è?
Grazie mille
"Marco1005":
....
Mi sorge comunque spontanea una domanda: se la funzione di costo marginale rappresenta l'incremento dei costi per una unità aggiuntiva di prodotto, se sostituisco alla $x=6$ ottengo 52 € il che dovrebbe rappresentare l'incremento di costi per una unità in più corretto? ma se raffronto il costo che otterrei con $x=5$ cioè 40, emerge che l'incremento dei costi è 12 € per il passaggio da 5 a 6 confezioni. Non riesco bene a interpretare la definizione con l'approccio pratico.
Allora quel 52 cos'è?
Grazie mille
Ciao Marco, quello che vuoi calcolare te è il costo marginale per passare a produrre da una quantità $x$ a $x+1$, che calcoli con $CM = CT(x+1) - CT(x)$.
Se ci fai caso:
$CT(2) = 4 +2 + 10 = 28$
$CT(3) = 9 + 3 +10 + 28 =50$
$CT(3) - CT(2) = 22$
$CM(3) =22$
In generale con la funzione $CM$ ti calcoli il costo che hai nel passare dalla quantità $x-1$ alla quantità $x$ che inidichi come parametro della funzione.
Gabriella saprà spiegarti più formalmente
"Marco1005":
Per quanto concerne le funzioni di costi variabili e costi totali da te citate, agli studenti delle superiori vengono quasi sempre presentate come rette, quindi la classica retta orizzontale dei costi fissi e in aggiunta la pendente positiva che indica i costi variabili.
Certo, io mi baso su un esame di primo anno all'università, e sul fatto che hai detto che lo studente a cui fai lezione deve fare l'esame di matematica per l'economia. E che fa le derivate.
Erano solo suggerimenti per non andare didatticamente, come dire, fuori strada.
Poi a scuola non lo so, lì puoi giudicare solo tu come insegnare, io non conosco la situazione.
"DavidGnomo":
Gabriella saprà spiegarti più formalmente
Il notaio conferma
Quello che hai scritto sopra è giusto.
"DavidGnomo":
Ciao Marco, quello che vuoi calcolare te è il costo marginale per passare a produrre da una quantità $x$ a $x+1$, che calcoli con $CM = CT(x+1) - CT(x)$.
Se ci fai caso:
$CT(2) = 4 +2 + 10 = 28$
$CT(3) = 9 + 3 +10 + 28 =50$
$CT(3) - CT(2) = 22$
$CM(3) =22$
In generale con la funzione $CM$ ti calcoli il costo che hai nel passare dalla quantità $x-1$ alla quantità $x$ che inidichi come parametro della funzione.
Gabriella saprà spiegarti più formalmente
Ciao Grazie per la risposta. Mi sfugge qualcosa però...non dovrebbe essere la stessa cosa?se passo da x a x+1 dovrebbe essere identico a passare da x-1 a x.
a livello di calcolo quel 52 trovato con x=6 cosa rappresenta letteralmente?
"Marco1005":
se passo da x a x+1 dovrebbe essere identico a passare da x-1 a x.
Come mai?
"Marco1005":
....
Ciao Grazie per la risposta. Mi sfugge qualcosa però...non dovrebbe essere la stessa cosa?se passo da x a x+1 dovrebbe essere identico a passare da x-1 a x.
a livello di calcolo quel 52 trovato con x=6 cosa rappresenta letteralmente?
Ciao Marco.
Concettualmente quello bisogna sapere è che il CM (Costo Marginale) è la variazione dei costi totali che hai quando produci un'unità in più.
Il valore $52$, è il Costo Marginale che hai calcolato per produrre 6 scatole.
Da quanto scritto prima questo significa che $52$ è la variazione dei costi totali che hai quando passi dal produrre 5 scatole a 6 (quindi un'unità in più).
Verifichiamo se ciò che abbiamo descritto informalmente è vero:
$TC(5) = 25 + 5 +10 + 80 = 120$
$TC(6) = 36 + 6 +10 +120 = 172$
Qui abbiamo calcolato i costi totali per 5 scatole e per 6 scatole.
Proviamo a calcolarne la differenza:
$TC(6) - TC(5) = 172 - 120 = 52$
Thò! Dove abbiamo già visto quel valore?
Per dubbi scrivi pure.
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