Calcolo estremo superiore/inferiore di una successione

[Burra]

Rieccomi, mi sto esercitando con le dimostrazioni ed il calcolo dell'estremo superiore ed inferiore in limiti e successioni!

Ora voglio risolvere questa:

Trovare l'estremo superiore ed inferiore del seguente insieme:

$(n+1)/(sqrt(n^2+n+2)) , n in NN $


devo dimostrare se la successione cresce o decresce usando la forma $an < an+1 AA n$

ma avendo qualche lacuna non riesco a risolvere la dimostrazione, mi potete aiutare?

[_luca.barletta]

Devi risolvere questa disequazione:

$(n+1)/(sqrt(n^2+n+2))<(n+2)/(sqrt((n+1)^2+n+3))$

Puoi elevare ambo i membri al quadrato e procedere; la soluzione dovrebbe essere $a_n

Cita

Segnala

[Burra]

ehm, e' proprio la disequazione che non so risolvere...

[Mortimer1]

Luca.B ti ha già dato il suggerimento: eleva ambo i termini al quadrato, trova il mcm , così dovrai risolvere una semplice disequazione frazionaria.

[_luca.barletta]

Allora dopo aver elevato al quadrato:

$(n + 1)^2/(n^2 + n + 2) < (n + 2)^2/(n^2 + 3·n + 4)$

porto tutto a sinistra e sommo le frazioni ottenendo:

$(n^2 - n - 4)/((n^2 + n + 2)·(n^2 + 3·n + 4)) < 0$

ora, il denominatore è sempre positivo, quindi è sufficiente studiare:

$(n^2 - n - 4) < 0$

banale disequazione di secondo grado che si risolve trovando:

$1/2 - sqrt(17)/2 < n < sqrt(17)/2 + 1/2$

Prendiamo le soluzioni ammissibili in $NN$, ovvero $n={1,2}$