Calcolo di un limite

[Mark110001]

Mi sono ritrovato a dover calcolare questo limite:
$ lim_(x -> +oo ) ((cos(2pi*2^(1/x))-1) / (cos(2^(pi/x) -1)-1) ) = 4 $

Sinceramente mi sono bloccato appena l'ho visto. Le prime cose che ho provato a fare sono state delle sostituzioni, provando prima a porre una y uguale all'argomento completo del coseno al nominatore e poi provando con $y=2^(-x)$, ma non sono riuscito ad avanzare in entrambi i casi.
Il problema maggiore che ho è quello di avere il $2^pi$ nel coseno al denominatore, che non riesco a gestire.

Non so se quest'esercizio si risolva con qualche teorema in particolare; io fin'ora ho studiato i limiti notevoli, le forme indeterminate e gli inifiniti/infinitesimi.

Come potrei anche solo avviare l'esercizio? Grazie da subito ^^

[@melia]

Devi trasformare in $lim_(f(x)-> 0, g(x)->0) (cos f(x) -1)/(f^2(x)) *(g^2(x))/(cos g(x) -1) *(f^2(x))/(g^2(x)) $, per poter utilizzare il limite notevole $lim_(f(x)-> 0) (1 - cos f(x) )/(f^2(x))=1/2$,

[Mark110001]

Allora, ho trasformato in:

$lim_(x->+oo ) (cos(2pi*2^(1/x)) -1)/(2pi*2^(1/x))^2 * ((2^(pi/x) -1)^2)/(cos(2^(pi/x) -1) -1) * (2pi*2^(1/x))^2/ ((2^(pi/x) -1)^2)$

Dopodichè pongo $y= 1/x $

$lim_(y->0^+ ) (cos(2pi*2^(y)) -1)/(2pi*2^(y))^2 * ((2^(y*pi) -1)^2)/(cos(2^(y*pi) -1) -1) * (2pi*2^(y))^2/ ((2^(y*pi) -1)^2)$

Ora, la quantità centrale la riconosco come limite notevole poiche $g(x) -> 0$ ed è dunque pari a $(-1/2)^-1$

$lim_(y->0^+ ) (cos(2pi*2^(y)) -1)/(2pi*2^(y))^2 * (-2) * (2pi*2^(y))^2/ ((2^(y*pi) -1)^2) $

Ma nel primo caso ho $f(x) -> 2pi$ . Ora sinceramente non mi sono mai trovato in questa situazione, quindi non so se la tendenza a 2 Pi, trovandoci nel caso di un coseno, possa essere tranquillamente considerata come una tendenza a 0 e di conseguenza applicare anche qui il limite notevole (che darebbe come risultato -1/2).

Ma comunque mi verrebbe la terza quantita pari a infinito, uscendomi 0 al denominatore, no?

[@melia]

Dato che $cos alpha= cos(alpha+-2pi)$ il primo fattore è più conveniente se scritto $(cos(2pi*2^y-2pi)-1)/(2pi*2^y-2pi)^2$

[Mark110001]

Ma in ogni caso, correggimi se sbaglio, sostituendo 0 nella terza parte del limite, non risulta $((2pi)/0)^2$ e dunque $oo$ ?
E dunque come potrei trovarmi 4 come risultato?

[@melia]

È chiaro che, se modifichi il primo fattore, devi conseguentemente modificare il terzo.

[Mark110001]

Giusto!

Dunque sono arrivato a questa situazione:

$lim_(y -> 0^+) ((2pi*2^y -2pi)/(2^(pi*y) -1))^2$

Ora sono giunto ad una forma indeterminata $[0/0]$

Pongo $2^y = e^(y*ln(2))$ e $2^(y*pi) = e^(y*pi*ln(2))$
Sostituisco ed effettuo un cambio di variabile perchè mi risulta più comodo: $k=y*ln(2)$

Dunque ho:

$lim_(k-> 0^+) ((2pi*e^k -2pi)/(e^(pi*k) -1))^2$

Ora divido nominatore e denominatore entrambi per k (Credo sia lecito in quanto il limite è 0 da destra, quindi ci troviamo sempre nei positivi) e metto $2pi$ in evidenzia sopra:

$lim_(k-> 0^+) (((2pi*(e^k -1))/k)/((e^(pi*k) -1)/k))^2$

Quindi, poichè per $lim_(x->0) ((e^x -1)/x) = 1$ e $lim_(x->0) ((e^(a*x) -1)/x) = a$ Posso scrivere:

$lim_(k->0^+) (2pi/pi)^2 = 2^2 =4$

E' giusto questo ragionamento?