Calcolo di Limiti - Teorema di De L'Hopital
Salve a tutti,
ho difficoltà nel calcolare i seguenti limiti:
1. $lim_(x -> 0^+) (log sinx/(log tgx)) = 1$
2. $lim_(x -> 0^+) (log_x (e^x - 1)) = 1$
3. $lim_(x -> 1) ((1/logx) - (1/(x-1))) = 1/2$
Di seguito riporto i tentativi di risoluzione per ogni esercizio:
1. $lim_(x -> 0^+) (log sinx/(log tgx)) = lim_(x -> 0^+) ((1/sinx *cosx)/(1/(tgx) * 1/cos^2 x)) = ...$
2. $lim_(x -> 0^+) (log_x (e^x - 1)) = lim_ (x -> 0^+) (e^x/((e^x - 1) logx)) = ...$
3. $lim_(x -> 1) ((1/logx) - (1/(x-1))) = lim_(x -> 1) ((1/x)/log^2 x - (1/(x-1)^2)) = ...$
"Completo Impasse"!
ho difficoltà nel calcolare i seguenti limiti:
1. $lim_(x -> 0^+) (log sinx/(log tgx)) = 1$
2. $lim_(x -> 0^+) (log_x (e^x - 1)) = 1$
3. $lim_(x -> 1) ((1/logx) - (1/(x-1))) = 1/2$
Di seguito riporto i tentativi di risoluzione per ogni esercizio:
1. $lim_(x -> 0^+) (log sinx/(log tgx)) = lim_(x -> 0^+) ((1/sinx *cosx)/(1/(tgx) * 1/cos^2 x)) = ...$
2. $lim_(x -> 0^+) (log_x (e^x - 1)) = lim_ (x -> 0^+) (e^x/((e^x - 1) logx)) = ...$
3. $lim_(x -> 1) ((1/logx) - (1/(x-1))) = lim_(x -> 1) ((1/x)/log^2 x - (1/(x-1)^2)) = ...$
"Completo Impasse"!
Risposte
Devi per forza usare De L' Hopital ? Perché per esempio nel secondo e nel terzo non ci sono le condizioni (così come sono scritte ...) ... ed anche nel primo non vale la pena usarlo ...
Comunque per il primo sei arrivato ... ricorda che $cot(x)=1/tan(x)=cos(x)/sin(x)$ ...
Nel secondo forse volevi scrivere $log(x)*(e^x-1)$ ... È una forma tipo $0*infty$ perciò non puoi applicare De L' Hopital ma se la scrivi così $(e^x-1)/(1/log(x))$ allora sì ...
Per il terzo per applicare quel teorema devi sommare le frazioni per ridurti ad una forma indeterminata tipo $0/0$ ...
Nel secondo forse volevi scrivere $log(x)*(e^x-1)$ ... È una forma tipo $0*infty$ perciò non puoi applicare De L' Hopital ma se la scrivi così $(e^x-1)/(1/log(x))$ allora sì ...
Per il terzo per applicare quel teorema devi sommare le frazioni per ridurti ad una forma indeterminata tipo $0/0$ ...
Per il secondo puoi portare il logaritmo nella base $e$ (cambiamento di base) e poi applicare DlH; riducendo la frazione a due soli livelli ottieni $ (x e^x)/(e^x-1) $ di cui puoi calcolare il limite osservando che compare un limite fondamentale o, volendo, applicare ancora una volta DlH.
Ciao
Ciao
Riguardo al primo limite.. si può risolvere facilmente senza Hopital..
$ \lim_(x\to 0) (\ln (\sin x))/(\ln (tan x)) $
allora sappiamo che $ \tan(x)=(\sin x)/(\cos x) $
quindi, il denominatore possiamo riscriverlo così $ \ln((\sin x)/(\cos x)) $
ora ricordando una proprietà dei logaritmi, possiamo scrivere $ \ln((\sin x)/(\cos x))=\ln(\sin x)-\ln(\cos x) $
quindi il tutto si ha $ \lim_(x\to 0) (\ln (\sin x))/(\ln (tan x)) =\lim_(x\to 0) (\ln(\sin x))/(\ln(\sin x)-\ln(\cos x)) $
ora se ci fai caso .. $ \cos(0)=1 \to \ln(\cos(0))=\ln(1)=0 $
quindi ti rimane
$ \lim_(x\to 0) (\ln(\sin x))/(\ln (\sin x))=1 $
spero di essere stato chiaro..
$ \lim_(x\to 0) (\ln (\sin x))/(\ln (tan x)) $
allora sappiamo che $ \tan(x)=(\sin x)/(\cos x) $
quindi, il denominatore possiamo riscriverlo così $ \ln((\sin x)/(\cos x)) $
ora ricordando una proprietà dei logaritmi, possiamo scrivere $ \ln((\sin x)/(\cos x))=\ln(\sin x)-\ln(\cos x) $
quindi il tutto si ha $ \lim_(x\to 0) (\ln (\sin x))/(\ln (tan x)) =\lim_(x\to 0) (\ln(\sin x))/(\ln(\sin x)-\ln(\cos x)) $
ora se ci fai caso .. $ \cos(0)=1 \to \ln(\cos(0))=\ln(1)=0 $
quindi ti rimane
$ \lim_(x\to 0) (\ln(\sin x))/(\ln (\sin x))=1 $
spero di essere stato chiaro..
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