Calcolo di limite forma indeterminata

[giodicre]

Sarei grato se qualcuno mi aiutasse con il seguente limite:

$ lim_(x -> 2+) ln(x-2)/ln[e(expx) - e(exp2)] $

Grazie in anticipo.

[Zero87]

Ciao, vedo che è il tuo primo messaggio, perciò, benvenuto al forum e buona permanenza.
Notevole e molto apprezzato anche lo sforzo di usare il linguaggio delle formule.
L'unica cosa ê che secondo me non si capisce bene il denominatore, perciò ti chiedo di disambiguare (termine che prendo in prestito da Wikipedia ).

"giodicre":$ lim_(x -> 2+) ln(x-2)/ln[e(expx) - e(exp2)] $

Intendi
$lim_(x->2^+) \frac{ln(x-2)}{ln(e^(x-2))}$
oppure
$lim_(x->2^+) \frac{ln(x-2)}{ln(e^x-e^2)}$
o ancora
$lim_(x->2^+) \frac{ln(x-2)}{ln(e\cdot 10^x-e \cdot 10^2)}$


L'ultima deriva da reminiscenze mie di corsi di informatica delle superiori...

[giodicre]

Grazie. La seconda. Scusami ma devo acquisire più familiarità con l'editor delle forme. Grazie ancora.

[Zero87]

"giodicre":Scusami ma devo acquisire più familiarità con l'editor delle forme. Grazie ancora.

Non preoccuparti, ti sei appena iscritto e sei su una buona strada.

Tornando all'esercizio, non mi viene un modo di risolverlo che sia diverso dall'usare l'Hopital due volte intervallandolo da vari calcoli... Non so se sia corretto lo svolgimento o se si richiede di usare limiti notevoli e/o altro. Casomai lascio ad altre risposte (e seguo anch'io).

[giodicre]

Grazie comunque. Gentilissimo.

[Zero87]

Ci ho pensato altri due giorni e non mi viene un'altra strada - poi non ha risposto nessuno, magari si risolve così e basta...
Hai già fatto l'Hopital per i limiti?

[alessandro.de.social]

Edit: errato, per i motivi evidenziati da @anto_zoolander
Così è corretto?
$lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln(e^x-e^2)}=lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln[e^2(\frac{e^x}{e^2}-1)]}=lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln[e^2(e^{x-2}-1)]}=lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln[e^2(x-2)\frac{e^{x-2}-1}{x-2}]}$
Ora $x-2\to0^+$ per cui puoi applicare il limite notevole dell'esponenziale $lim_{f(x)\to0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1$, quindi:
$lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{ln[e^2(x-2)]}$
per le proprietà dei logaritmi:
$lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{lne^2+ln(x-2)}=lim_{x\to2^{+}}(\frac{lne^2+ln(x-2)}{ln(x-2)})^{-1}=lim_{x\to2^{+}}(\frac{lne^2}{ln(x-2)}+\frac{ln(x-2)}{ln(x-2)})^{-1}=(0+1)^{-1}=1$

[axpgn]

C'è un problema ... quando tu "ribalti" la frazione nell'ultima riga, assumi implicitamente che il limite sia $1$ ...
Il cane che si morde la coda

Cordialmente, Alex

[alessandro.de.social]

"axpgn":C'è un problema ... quando tu "ribalti" la frazione nell'ultima riga, assumi implicitamente che il limite sia $1$ ...
Il cane che si morde la coda

Cordialmente, Alex

Immaginavo ci fosse un errore (anche se non pensavo fosse proprio lì)
Perché non posso farlo? Perché, facendolo, assumo che il limite sia già 1?

E così?
(...) per il teorema del limite del reciproco:
$lim_{x\to2^{+}}\frac{ln(x-2)}{lne^2+ln(x-2)}=\frac{1}{lim_{x\to2^{+}}\frac{lne^2+ln(x-2)}{ln(x-2)}}=\frac{1}{lim_{x\to2^{+}}\frac{lne^2}{ln(x-2)}+\frac{ln(x-2)}{ln(x-2)}}=\frac{1}{0+1}=1$

[anto_zoolander]

In genere non puoi perchè $ln(e^2(e^x/e^2-1))=2+ln(e^(x-2)-1)$ e non puoi usare le equivalenze asintotiche in una somma. La questione è un po' sottile, se ti interessa ti spiego il motivo, ma in genere le equivalenze si usano per prodotti e non somme, perchè c'è un pezzettino che rimane ma di cui non ne conosci l'esistenza ancora

[axpgn]

Poniamo che sia $(f(x))/(g(x))=k$ allora $(g(x))/(f(x))=1/k$
Affinché sia $(f(x))/(g(x))=(g(x))/(f(x))$ deve essere $k=1/k$ cioè $k^2=1$ da cui $k=+-1$

In definitiva uguagliando la frazione al suo reciproco assumi implicitamente che valga $1$ (o $-1$)

Cordialmente, Alex

[alessandro.de.social]

"anto_zoolander":In genere non puoi perchè $ln(e^2(e^x/e^2-1))=2+ln(e^(x-2)-1)$ e non puoi usare le equivalenze asintotiche in una somma. La questione è un po' sottile, se ti interessa ti spiego il motivo, ma in genere le equivalenze si usano per prodotti e non somme, perchè c'è un pezzettino che rimane ma di cui non ne conosci l'esistenza ancora

Sì, mi interesserebbe. Grazie

"axpgn":Poniamo che sia $(f(x))/(g(x))=k$ allora $(g(x))/(f(x))=1/k$
Affinché sia $(f(x))/(g(x))=(g(x))/(f(x))$ deve essere $k=1/k$ cioè $k^2=1$ da cui $k=+-1$

In definitiva uguagliando la frazione al suo reciproco assumi implicitamente che valga $1$ (o $-1$)

Cordialmente, Alex

Ma io non l'ho uguagliata al reciproco del reciproco, cioè a se stessa?

[axpgn]

Hai ragione, l'hai invertita due volte
Sì, il problema è quello evidenziato da anto, usare le equivalenze asintotiche in una somma non funziona bene

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

diciamo che ti porti un po' dietro i fantasmi, nelle somme

Quando andrai avanti, vedrai il concetto di 'o piccolo'. In poche parole due funzioni asintoticamente equivalenti si possono scrivere come

$f(x)=g(x)+o(g(x))$ vicino ad un certo punto

dove $o(g(x))$ è una quantità che si annulla con ordine maggiore rispetto a $g(x)$: questo significa che è una quantità che tende a zero più velocemente, ossia $(o(g))/g->0$

Di fatto $f/g=1+(o(g))/g$ ed essendo $o(g)$ un infinitesimo, spunta che $f/g->1$

Ora nei prodotti non c'è problema, perchè se avessimo $h*f$ con $f/g->1$ potresti considerare

$h*f=(h*g)*(f/g)$ dove $f/g->1$

e qualora il limite di $h*g$ esistesse, per il teorema sul prodotto dei limiti $h*f$ e $h*g$ tendono allo stesso limite.

Nelle somme invece questo resto te lo porti a presso perchè ti rimarrebbe qualcosa del genere

$h+f=h+[g+o(g)]=[h+g]+o(g)=[h+g]+o(g)$

nei prodotti hai la possibilità di raccogliere tranquillamente, quindi te lo levi dalle scatole

$h*f=h*(g+o(g))=(h*g)*[1+(o(g))/g]$

infatti dipende solo dal limite $h*g$ in questo caso

ripeto: leggilo per sport, sono cose che vedrai avanti(se vai ancora al liceo)

[alessandro.de.social]

Un ultimo dubbio: se facessi prima il ribaltamento? Così avrei la forma limite + limite + limite (il terzo sarebbe quello cui applicare il limite notevole)
Cioè, il problema evidenziato da @anto_zoolander persisterebbe anche qualora riuscissi a trasformare quel limite in una somma di limiti?
$\frac{1}{lim_{x\to2^{+}}\frac{ln[e^2(x-2)\frac{e^{x-2}-1}{x-2}]}{ln(x-2)}}=\frac{1}{lim_{x\to2^{+}}(\frac{2}{ln(x-2)}+\frac{ln(x-2)}{ln(x-2)}+\frac{\frac{e^{x-2}-1}{x-2}}{ln(x-2)})}$
ovvero il reciproco di una somma di limiti (e nel terzo c'è un prodotto)
@anto_zoolander: sono all'uni, quindi credo che tra un po' lo faremo (Analisi 1)

[anto_zoolander]

però per spezzare un limite in una somma, devi sapere se i limiti che spezzi esistono

[alessandro.de.social]

Grazie mille

[Zero87]

Io comunque non ci sarei mai arrivato e mi è venuto in mente di usare solamente l'Hopital... siete fantastici.