Calcolo di integrale definito
Ciao a tutti...ho un nuovo problema. Allora, ho un integrale definito
$int_1^4 1/(x-sqrt(x))dx
mi viene dato il suggerimento di imporre $t=sqrt(x)-1$
premetto che non ho la più pallida idea di come risolverlo, ho pensato:
$d(sqrt(x)-1)=d(t)$
$1/(2sqrt(x))dx=dt$
ma ora come vado avanti?
grazie in anticipo per l'aiuto.
$int_1^4 1/(x-sqrt(x))dx
mi viene dato il suggerimento di imporre $t=sqrt(x)-1$
premetto che non ho la più pallida idea di come risolverlo, ho pensato:
$d(sqrt(x)-1)=d(t)$
$1/(2sqrt(x))dx=dt$
ma ora come vado avanti?
grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Osserva che $x-sqrtx=sqrtx*(sqrtx-1)$
Veroooo....
Quindi se ho capito bene sarebbe:
$int_1^4 1/(sqrt(x)(sqrt(x)-1))dx$
poi usando il differenziale che ho calcolato prima averi che
$2/2int_1^4 1/(sqrt(x)(sqrt(x)-1))dx$
da cui
$1/(2sqrt(x))dx=dt$ e $1/(sqrt(x)-1)=1/t$
perciò avrò
$2int_1^4 1/tdt$
$2ln(t)=2ln(sqrt(x)-1)$
che è la mia primitiva. Giusto?
Quindi se ho capito bene sarebbe:
$int_1^4 1/(sqrt(x)(sqrt(x)-1))dx$
poi usando il differenziale che ho calcolato prima averi che
$2/2int_1^4 1/(sqrt(x)(sqrt(x)-1))dx$
da cui
$1/(2sqrt(x))dx=dt$ e $1/(sqrt(x)-1)=1/t$
perciò avrò
$2int_1^4 1/tdt$
$2ln(t)=2ln(sqrt(x)-1)$
che è la mia primitiva. Giusto?
Quasi.
Quando effettui la sostituzione in un integrale definito devi cambiare anche gli estremi di integrazione oppure risolvere l'integrale indefinito e poi tornare al definito con la vecchia variabile.
Quando effettui la sostituzione in un integrale definito devi cambiare anche gli estremi di integrazione oppure risolvere l'integrale indefinito e poi tornare al definito con la vecchia variabile.
Scusa ma non ho capito. Io non sono tornata all'integrale definito con la mia variabile?
No forse ci sono arrivata. Vuoi dire che, nel momento in cui mi rendo conto che devo usare l'integrazione per sostituzione, devo lavorare sull'integrale indefinito e solo dopo, quando l'ho risolto, lo calcolo mantenendo gli stessi estremi. Giusto?
Questo vuol dire che il mio errore è stato riportare gli estremi di integrazione in tutti i passaggi della sostituzione. é corretto?
Quindi ottengo:
$[2ln(sqrt(x)-1)]_1^4 = (2ln(1))-(2ln(0)) = 0-? $
scusa ma per la condizione fondamentale del logaritmo, l'argomento non può essere uguale a zero, o sbaglio? il risultato non è possibile...
Questo vuol dire che il mio errore è stato riportare gli estremi di integrazione in tutti i passaggi della sostituzione. é corretto?
Quindi ottengo:
$[2ln(sqrt(x)-1)]_1^4 = (2ln(1))-(2ln(0)) = 0-? $
scusa ma per la condizione fondamentale del logaritmo, l'argomento non può essere uguale a zero, o sbaglio? il risultato non è possibile...
Non me ne ero accorta neppure io: 1 non appartiene al dominio della funzione integranda né a quello della primitiva!Il resto è esatto
Grazie mille @melia... 
$int_1^4 1/(sqrt(x)(sqrt(x)-1))dx$
possiamo calcolare
$lim_(epsilon->1^+)int_epsilon^4 1/(sqrt(x)(sqrt(x)-1))dx=+infty$
non è integrabile in senso improprio nell'intervallo $(1;4]$
possiamo calcolare
$lim_(epsilon->1^+)int_epsilon^4 1/(sqrt(x)(sqrt(x)-1))dx=+infty$
non è integrabile in senso improprio nell'intervallo $(1;4]$
Ok. Perciò se prendo in considerazione l'integrale così com'è non è integrabile, ma neanche derivabile. Proprio perchè in x=1 vi è l'asintoto verticale.
Grazie...
Grazie...
Attenta però, il fatto che in x=1 ci sia un asintoto non implica che l'integrale sia infinito. devi calcolare il limite. delle volte magicamente ci sono gli asintoti verticali eppure l'area è finita.
Quindi come dice sempre la mia prof. "Non tutto quel che è ora luccica". Beh grazie, mi servirà di lezione in futuro.
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