Calcolo di derifate usando la definizione di derivate
y = 3lnx
y = 2radx
Non riesco a calcolare queste derivate usando la DEFINIZIONE DI DERIVATA. Quando sostituisco non capisco come andare avanti, potreste aiutarmi? Grazie
y = 2radx
Non riesco a calcolare queste derivate usando la DEFINIZIONE DI DERIVATA. Quando sostituisco non capisco come andare avanti, potreste aiutarmi? Grazie
Risposte
Ciao, faccio il secondo (non so bene il perché, ma è il primo che ho guardato...)
La definizione di derivata ti dice che, data una funzione $y = f(x)$, la sua derivata è \[
f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\] Quindi nel nostro caso abbiamo \[
y' = \lim_{h\to 0} \frac{2\sqrt{x+h} - 2\sqrt{x}}{h}
\] Sei in grado di risolvere questo limite? Prova a pensarci un po'... Comunque metto un suggerimento sotto spoiler.
La definizione di derivata ti dice che, data una funzione $y = f(x)$, la sua derivata è \[
f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\] Quindi nel nostro caso abbiamo \[
y' = \lim_{h\to 0} \frac{2\sqrt{x+h} - 2\sqrt{x}}{h}
\] Sei in grado di risolvere questo limite? Prova a pensarci un po'... Comunque metto un suggerimento sotto spoiler.
Grazie mille capito...però il primo non riesco proprio a risolverlo mi daresti una mano perfavore? 
Stesso lavoro, ma stavolta devi ricorrere ai limiti notevoli
$f'(x)=lim_(h->0) (3ln(x+h)-3ln x)/h =$ con le proprietà dei logaritmi ottieni
$=lim_(h->0) (3ln((x+h)/x))/h =$ che si può scrivere
$=lim_(h->0) (3ln(1+h/x)/(x*h/x)) = $
$=lim_(h->0) 3/x*(ln(1+h/x))*(x/h)= $ porta fuori il termine $3/x$ che non dipende da $h$
$=3/x*lim_(h->0) ln((1+h/x)^(x/h)) = $ usa il limite notevole $lim_(f(x)->0) (1+f(x))^(1/f(x))=e$
$=3/x * ln e= 3/x$
$f'(x)=lim_(h->0) (3ln(x+h)-3ln x)/h =$ con le proprietà dei logaritmi ottieni
$=lim_(h->0) (3ln((x+h)/x))/h =$ che si può scrivere
$=lim_(h->0) (3ln(1+h/x)/(x*h/x)) = $
$=lim_(h->0) 3/x*(ln(1+h/x))*(x/h)= $ porta fuori il termine $3/x$ che non dipende da $h$
$=3/x*lim_(h->0) ln((1+h/x)^(x/h)) = $ usa il limite notevole $lim_(f(x)->0) (1+f(x))^(1/f(x))=e$
$=3/x * ln e= 3/x$
Per il primo il ragionamento è simile: \[
\lim_{h\to 0} \frac{3\left[\ln(x+h) - \ln x\right]}{h}
\]Applicando una proprietà dei logaritmi si ottiene \[
\frac{3\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h} = 3\cdot\frac{1}{h}\,\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)
\]Applicando un'altra proprietà dei logaritmi ottieni \[
3\ln\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right]
\]Ora un limite notevole ti dice che la parte tra parentesi quadre tende a $e^{\frac{1}{x}}$, quindi il tutto tende a \[
3\ln e^{\frac{1}{x}} = \frac{3}{x}
\]
P.S. Ho visto che @melia ha già risposto, ma ho scritto troppo codice LaTeX per cancellare tutto...
\lim_{h\to 0} \frac{3\left[\ln(x+h) - \ln x\right]}{h}
\]Applicando una proprietà dei logaritmi si ottiene \[
\frac{3\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h} = 3\cdot\frac{1}{h}\,\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)
\]Applicando un'altra proprietà dei logaritmi ottieni \[
3\ln\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right]
\]Ora un limite notevole ti dice che la parte tra parentesi quadre tende a $e^{\frac{1}{x}}$, quindi il tutto tende a \[
3\ln e^{\frac{1}{x}} = \frac{3}{x}
\]
P.S. Ho visto che @melia ha già risposto, ma ho scritto troppo codice LaTeX per cancellare tutto...
Innanzitutto ringrazio entrambi per la soluzione
Però non mi son chiare due cose : nella solizione di melia non ho capito perchè ha moltiplicato a denominatore x * (h/x)
Mentre nella soluzione di minomic non ho capito perchè la parentesi tende a e^(1/x) perchè nel limite notevole dovrebbe esserci x a esponente della parentesi e non h...
Grazie!
Però non mi son chiare due cose : nella solizione di melia non ho capito perchè ha moltiplicato a denominatore x * (h/x)
Mentre nella soluzione di minomic non ho capito perchè la parentesi tende a e^(1/x) perchè nel limite notevole dovrebbe esserci x a esponente della parentesi e non h...
Grazie!
Lascio ad @melia l'onore e il compito di rispondere alla sua parte di domanda, e mi occupo invece della mia...
Il limite notevole che probabilmente conosci è spesso presentato come \[
\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}} = e
\] La versione "estesa" è la seguente: \[
\lim_{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac{1}{x}} = e^k
\] Di conseguenza, cambiando le lettere in gioco, possiamo dire che \[
\lim_{h\to 0} \left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}} = e^{\frac{1}{x}}
\]dove vale $k=1/x$.
Il limite notevole che probabilmente conosci è spesso presentato come \[
\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}} = e
\] La versione "estesa" è la seguente: \[
\lim_{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac{1}{x}} = e^k
\] Di conseguenza, cambiando le lettere in gioco, possiamo dire che \[
\lim_{h\to 0} \left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}} = e^{\frac{1}{x}}
\]dove vale $k=1/x$.
In realtà il limite che conosco io è (1 + (1/x))^x = e per questo non riesco a ritrovarmi in quello che hai scritto...
Perché nel tuo caso $x$ tende a $oo$. Con una semplice sostituzione arrivi anche alla "mia" versione. Spesso vengono presentati come due limiti notevoli separati, ma sono in realtà due modi diversi di dire la stessa cosa.
Capito ! Grazie mille , buona serata
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