Calcolo derivata prima 3 funzioni

[Marco1985Mn]

Rieccomi .
Ho provato a fare questa derivata prima con tre funzioni. Il calcolo mi sembrava tutto sommato semplice ma....non risulta .




procedo applicando la formula che prevede $f'(x)*g(x)*z(x)+ f(x)*g'(x)*z(x) + f(x)*g(x)*z'(x)$

calcolo a parte le derivate prime

$f'(x)=1$
$f'(g)=cosx$
$f'(z)=3$

a questo punto metto insieme tutto.

$sinx*(3x+2)+x*cosx*(3x+2)+3xsinx$ svolgo le moltiplicazioni

$3xsinx+2sinx+6x^2cosx+3xsinx$ sommo i termini simili

$6x^2cosx+6xsinx+2sinx$


dove sbaglio??
grazie mille

[axpgn]

Poniamo $f(x)=x*sin(x)*(3x+2)$

Ed anche $g(x)=sin(x), a(x)=x, b(x)=3x+2$ e $h(x)=a(x)*b(x)$

Quindi $f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)$

Ma $h'(x)=a'(x)*b(x)+a(x)*b'(x)$

Quindi $f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*[a'(x)b(x)+a(x)b'(x)]$

[Mephlip]

@Marco1005: La soluzione riportata sul testo è palesemente sbagliata. Probabilmente, hanno sbagliato riga e si riferisce ad un altro esercizio.

L'unico errore che vedo è la moltiplicazione $x \cos x (3x+2)$. Hai che $x \cos x (3x+2)=3x^2 \cos x+2x \cos x$.

Alla fine, mettendo tutto a fattor comune, ti deve venire $x(3x+2)\cos x+2(3x+1) \sin x$. Vedi se, correggendo l'errore che ti ho segnalato, ti torna.

[ghira1]

"Marco1005":
$f'(x)=1$
$f'(g)=cosx$
$f'(z)=3$

Il libro è totalmente sbagliato, ma non scrivere $f'(g)$ ecc.

Eventualmente $g'(x)$ ecc. una volta che avrai definito $g$. ecc.

[Marco1985Mn]

"ghira":

Il libro è totalmente sbagliato, ma non scrivere $f'(g)$ ecc.

hai ragione nella fretta ho scritto una boiata, $f'(x), g'(x), z'(x)$

[Marco1985Mn]

"Mephlip":
L'unico errore che vedo è la moltiplicazione $x \cos x (3x+2)$. Hai che $x \cos x (3x+2)=3x^2 \cos x+2x \cos x$.

Si non so cos'ho combinato. Grazie.
non capivo infatti perchè dovessero esserci dei logaritmi nella soluzione

[Marco1985Mn]

"axpgn":Poniamo $f(x)=x*sin(x)*(3x+2)$

Ed anche $g(x)=sin(x), a(x)=x, b(x)=3x+2$ e $h(x)=a(x)*b(x)$

Quindi $f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)$

Ma $h'(x)=a'(x)*b(x)+a(x)*b'(x)$

Quindi $f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*[a'(x)b(x)+a(x)b'(x)]$

ammetto che questa alex mi crea non poca confusione

[giammaria2]

Mi intrometto per un consiglio generale: prima di derivare, conviene sempre scrivere la funzione nella forma che rende più comoda la derivazione. Nel tuo caso, conviene moltiplicare fra loro i polinomi e scrivere
$y=(3x^2+2x)sin x$
da cui ricavi subito
$y'=(6x+2)sin x+ (3x^2+2x)cos x$
Non è sbagliato lasciare le tre funzioni e ridurre i termini simili solo alla fine, ma è scomodo.

[axpgn]

"Marco1005":ammetto che questa alex mi crea non poca confusione

Invece è un metodo molto "semplificativo"

Dobbiamo derivare $f(x)=x*sin(x)*(3x+2)$ cioè un prodotto di tre funzioni.

Chiaramente, come dice giustamente giammaria, è meglio semplificare prima di derivare ma non l'ho fatto stamattina né lo faccio ora perché voglio mostrare come si può fare con tre prodotti.

Le tre funzioni di cui è composta $f(x)$ sono:

-$a(x)=x$
-$b(x)=sin(x)$
-$c(x)=3x+2$

per cui la nostra funzione si può riscrivere come $f(x)=a(x)*b(x)*c(x)$

e visto che ci siamo e sono facili, ne calcoliamo subito le derivate:

-$a'(x)=1$
-$b'(x)=cos(x)$
-$c'(x)=3$

Una delle prime regole di derivazione che si impara è quella del prodotto di funzioni che però viene presentato con DUE sole funzioni come fattori mentre qui ne abbiamo tre.
Non c'è problema, ne creiamo un'altra ovvero $h(x)=a(x)*c(x)$

Quindi la funzione originaria diventa $f(x)=b(x)*h(x)$.$\ \ \ \ \ $ Deriviamola.

$f'(x)=b'(x)*h(x)+b(x)*h'(x)$

Tre fattori su quattro li abbiamo già, perciò calcoliamo il quarto cioè la derivata di $h(x)$ che è:

$h'(x)=a'(x)*c(x)+a(x)*c'(x)$

Sostituiamo

$f'(x)=b'(x)*h(x)+b(x)*[a'(x)*c(x)+a(x)*c'(x)]$

A questo punto abbiamo tutti i fattori già pronti e basta semplicemente sostituire.

Dai, non è difficile anzi e soprattutto vale anche in situazioni più complicate.

Cordialmente, Alex

[@melia]

Non so che cosa hai combinato con la foto, ma esercizio e soluzione non mi sembravano allineate, inoltre mi pareva un libro noto e ho cercato l'esercizio in questione. Sono due esercizi di seguito, sul calcolo delle derivate.
Il primo. $y=x*sinx*(3x+2)$ con soluzione $y'=6xsinx+2sinx+3x^2cosx+2xcosx$
Il secondo. $y=2x*lnx*sinx$ con soluzione $y'=2(lnx*sinx+sinx+x*lnx*cosx)$