Calcolo dell'ordine di infinito
Ciao, non riesco a risolvere un esercizio:
Determina, se possibile, l'ordine di infinito della funzione.
$ f(x)= (x^5+x)/sqrt(x+1) $ per x-> +oo
Prima di tutto volevo calcolarlo io il limite e non ci sono riuscito, o meglio, non capisco se posso applicare il prinicipio di sostituzione degli infiniti dato che non ho $sqrtx$ ma $sqrt(x+1)$, quindi $(x+1)^(1/2)$.
Ma a parte questo, non riesco a trovare il valore di alpha, $ lim_(x->x_0) f(x)/[g(x)]^alpha$
So però che la funzione campione più comoda da usare è $g(x)=x$
Determina, se possibile, l'ordine di infinito della funzione.
$ f(x)= (x^5+x)/sqrt(x+1) $ per x-> +oo
Prima di tutto volevo calcolarlo io il limite e non ci sono riuscito, o meglio, non capisco se posso applicare il prinicipio di sostituzione degli infiniti dato che non ho $sqrtx$ ma $sqrt(x+1)$, quindi $(x+1)^(1/2)$.
Ma a parte questo, non riesco a trovare il valore di alpha, $ lim_(x->x_0) f(x)/[g(x)]^alpha$
So però che la funzione campione più comoda da usare è $g(x)=x$
Risposte
Per $x->+\infty$ un polinomio si comporta come il suo monomio di grado massimo e, se non erro, vale anche per le radici,
$\sqrt(x+1)~\sqrt(x)$.
Allo scientifico insegnano il giochetto
$\sqrt(x+1)=\sqrt(x(1+1/x)) -> \sqrt(x)$ per $x->+\infty$
che in pratica è lo stesso criterio con cui si sostituisce nei polinomi sempre per $x->+\infty$ (cioè si raccoglie il monomio di grado massimo).
$\sqrt(x+1)~\sqrt(x)$.
Allo scientifico insegnano il giochetto
$\sqrt(x+1)=\sqrt(x(1+1/x)) -> \sqrt(x)$ per $x->+\infty$
che in pratica è lo stesso criterio con cui si sostituisce nei polinomi sempre per $x->+\infty$ (cioè si raccoglie il monomio di grado massimo).
Con i consigli di Zero87 capisci subito che quel limite va a $oo$
Hai una quantita a numeratore che "va" ad infinito molto più velocemente della quantità a denominatore.. quindi..
Hai una quantita a numeratore che "va" ad infinito molto più velocemente della quantità a denominatore.. quindi..
"grimx":
Con i consigli di Zero87 capisci subito che quel limite va a $oo$
Hai una quantita a numeratore che "va" ad infinito molto più velocemente della quantità a denominatore.. quindi..
Come faccio a capire che la quantità al numeratore va più velocemente a +oo rispetto alla quantità al denominatore? E come faccio a sapere qual è l'ordine di infinito della mia f(x)?
Bhe, la quantità al numeratore è $x^5+x$ no?
La quantità al denominatore è $sqrt(x+1)$
Ora detto in modo mooolto semplicistico, hai al numeratore un qualcosa che è moolto più grande della quantità sotto, è come dividere un infinito grandissimo diviso un infinito più piccolo, ottieni sempre infinito..
Ora provo a spiegartelo in maniera più "formale"
La quantità al numeratore per $x->oo$ si ha che $x^5+x~ x^5$
Mentre la quantità al denominatore per $x->oo$ si ha che (come ha detto zero87) $sqrt(x+1)~ sqrt(x)=x^½$
Quindi il tuo limite diventa $x^5/x^½=x^(9/2)$
Questa quantità per $x->oo$ va ad infinito.
[size=85]Adesso i matematici mi uccideranno per quello che ho scritto[/size]
La quantità al denominatore è $sqrt(x+1)$
Ora detto in modo mooolto semplicistico, hai al numeratore un qualcosa che è moolto più grande della quantità sotto, è come dividere un infinito grandissimo diviso un infinito più piccolo, ottieni sempre infinito..
Ora provo a spiegartelo in maniera più "formale"
La quantità al numeratore per $x->oo$ si ha che $x^5+x~ x^5$
Mentre la quantità al denominatore per $x->oo$ si ha che (come ha detto zero87) $sqrt(x+1)~ sqrt(x)=x^½$
Quindi il tuo limite diventa $x^5/x^½=x^(9/2)$
Questa quantità per $x->oo$ va ad infinito.
[size=85]Adesso i matematici mi uccideranno per quello che ho scritto[/size]
$ g(x)=x $
Oook, il tuo modo di spiegarmelo semplicemente mi è piaciuto e l'ho capito, tra l'altro sono arrivato anch'io a $x^(9/2)$ ma non capisco perchè $9/2$ è l'ordine, cioè in pratica sarebbe che $lim_(x->+oo) ((x^5+x)/(sqrt(x+1)))/ (x^(9/2))= $ esiste ed è finito e diverso da zero?
Mentre ad esempio in $f(x)= x^3 + x + 1$ per x->+oo mi è chiaro che l'ordine di infinito($alpha$) è 3 perchè se metto 3 come esponente alla mia funzione campione $g(x)=x$ avrò $lim_(x->+oo) x^3/x^3=1$
$ lim_(x->x_0) f(x)/[g(x)]^alpha $
Forse non ho capito bene all'atto pratico l'ordine di infinitesimo e infinito
"grimx":
Bhe, la quantità al numeratore è $x^5+x$ no?
La quantità al denominatore è $sqrt(x+1)$
Ora detto in modo mooolto semplicistico, hai al numeratore un qualcosa che è moolto più grande della quantità sotto, è come dividere un infinito grandissimo diviso un infinito più piccolo, ottieni sempre infinito..
Ora provo a spiegartelo in maniera più "formale"
La quantità al numeratore per $x->oo$ si ha che $x^5+x~ x^5$
Mentre la quantità al denominatore per $x->oo$ si ha che (come ha detto zero87) $sqrt(x+1)~ sqrt(x)=x^½$
Quindi il tuo limite diventa $x^5/x^½=x^(9/2)$
Questa quantità per $x->oo$ va ad infinito.
[size=85]Adesso i matematici mi uccideranno per quello che ho scritto[/size]
Oook, il tuo modo di spiegarmelo semplicemente mi è piaciuto e l'ho capito, tra l'altro sono arrivato anch'io a $x^(9/2)$ ma non capisco perchè $9/2$ è l'ordine, cioè in pratica sarebbe che $lim_(x->+oo) ((x^5+x)/(sqrt(x+1)))/ (x^(9/2))= $ esiste ed è finito e diverso da zero?
Mentre ad esempio in $f(x)= x^3 + x + 1$ per x->+oo mi è chiaro che l'ordine di infinito($alpha$) è 3 perchè se metto 3 come esponente alla mia funzione campione $g(x)=x$ avrò $lim_(x->+oo) x^3/x^3=1$
$ lim_(x->x_0) f(x)/[g(x)]^alpha $
Forse non ho capito bene all'atto pratico l'ordine di infinitesimo e infinito
Esatto è proprio come dici, cioè che
$ lim_(x→+∞) ((x^5+x)/sqrt(x+1))/(x^(9/2)) $ esiste ed è finito e diverso da zero.
per trovare quel valore $(9/2) $ dovresti chiederti per quale valore di $alpha $ il $ lim_(x→+∞) ((x^5+x)/sqrt(x+1))/(x^(alpha )) $ esiste finito e diverso da zero.
Però così è difficile da determinare quale sia il valore di $alpha $ tale che etc etc
Cerchi allora di trovare quale espressione sia asintotica ( nell'intorno di $+oo$) al rapporto $ ((x^5+x)/sqrt(x+1))$ , si comporti cioè allo stesso modo, ma sia più semplice da gestire.
Numeratore : quando $x rarr +oo $ il termine preponderante , che comanda è $ x^5 $ ok ? (*)
denominatore : sempre quando $x rarr +oo$ il termine preponderante è $x^(1/2) $ ok ?
A questo punto il tuo rapporto è asintotico a $ x^5/x^(1/2) = x^(9/2) $ e il gioco è fatto....$ alpha = 9/2 $ che rappresenta l'ordine di infinito della funzione iniziale.
(*) Naturalmente se tu fossi nel caso di $ x rarr 0 $ il termine preponderante al numeratore sarebbe $x $ , ok ?
$ lim_(x→+∞) ((x^5+x)/sqrt(x+1))/(x^(9/2)) $ esiste ed è finito e diverso da zero.
per trovare quel valore $(9/2) $ dovresti chiederti per quale valore di $alpha $ il $ lim_(x→+∞) ((x^5+x)/sqrt(x+1))/(x^(alpha )) $ esiste finito e diverso da zero.
Però così è difficile da determinare quale sia il valore di $alpha $ tale che etc etc
Cerchi allora di trovare quale espressione sia asintotica ( nell'intorno di $+oo$) al rapporto $ ((x^5+x)/sqrt(x+1))$ , si comporti cioè allo stesso modo, ma sia più semplice da gestire.
Numeratore : quando $x rarr +oo $ il termine preponderante , che comanda è $ x^5 $ ok ? (*)
denominatore : sempre quando $x rarr +oo$ il termine preponderante è $x^(1/2) $ ok ?
A questo punto il tuo rapporto è asintotico a $ x^5/x^(1/2) = x^(9/2) $ e il gioco è fatto....$ alpha = 9/2 $ che rappresenta l'ordine di infinito della funzione iniziale.
(*) Naturalmente se tu fossi nel caso di $ x rarr 0 $ il termine preponderante al numeratore sarebbe $x $ , ok ?
Ok, grazie 
Non riesco invece a trovare due limiti:
1) $lim_(x->+oo) ((2x)/(x+1))^(x+2)$
2) $lim_(x->0) (sin x + tan^2 x)/(2x + tan x)$
1) $lim_(x->+oo) ((2x)/(x+1))^(x+2)$
2) $lim_(x->0) (sin x + tan^2 x)/(2x + tan x)$
Il primo, dovrebbe fare infinito (correggetemi se sbaglio non sono sicuro)
$lim_(x ->oo) ((2x)/(x(1+1/x)))^(x+2)$
$lim_(x ->oo) (2/(1+1/x))^(x+2)= oo$
Per il secondo non saprei..
$lim_(x ->oo) ((2x)/(x(1+1/x)))^(x+2)$
$lim_(x ->oo) (2/(1+1/x))^(x+2)= oo$
Per il secondo non saprei..
Il primo è corretto.
Per quanto riguarda il secondo
Applichiamo prima il principio di sostituzione degli infinitesimi, se lo conosci(cioè trascuriamo gli infinitesimi di ordine superiore).
$ lim_(x->0) (sin x + tan^2 x)/(2x + tan x) = lim_{x->0} sin(x)/(2x +tan(x))$, in questo caso trascuriamo $tan^2(x)$ perché ha ordine superiore rispetto a $sin(x)$
Quindi ci tocca risolvere questo limite:
$lim_{x->0} sin(x)/(2x + tan(x))$
che possiamo riscrivere come:
$lim_{x->0} ((2x + tan(x))/sin(x))^-1 =lim_{x->0} (2x/sin(x) + tan(x)/sin(x))^-1 = lim_{x->0} (2x/sin(x) + sin(x)/cos(x) * 1/sin(x) )^-1 = lim_{x->0} (2x/sin(x) + 1/cos(x))^-1 = lim_{x->0} (2 + 1)^-1 = 1/3$
Se non conosci il principio di sostituzione allora potresti provare così:
EDIT: se tenete ai vostri occhi allora leggete direttamente la soluzione fornita da giammaria.
Se invece volete rischiare...
Per quanto riguarda il secondo
"matnice":
2) $ lim_(x->0) (sin x + tan^2 x)/(2x + tan x) $
Applichiamo prima il principio di sostituzione degli infinitesimi, se lo conosci(cioè trascuriamo gli infinitesimi di ordine superiore).
$ lim_(x->0) (sin x + tan^2 x)/(2x + tan x) = lim_{x->0} sin(x)/(2x +tan(x))$, in questo caso trascuriamo $tan^2(x)$ perché ha ordine superiore rispetto a $sin(x)$
Quindi ci tocca risolvere questo limite:
$lim_{x->0} sin(x)/(2x + tan(x))$
che possiamo riscrivere come:
$lim_{x->0} ((2x + tan(x))/sin(x))^-1 =lim_{x->0} (2x/sin(x) + tan(x)/sin(x))^-1 = lim_{x->0} (2x/sin(x) + sin(x)/cos(x) * 1/sin(x) )^-1 = lim_{x->0} (2x/sin(x) + 1/cos(x))^-1 = lim_{x->0} (2 + 1)^-1 = 1/3$
Se non conosci il principio di sostituzione allora potresti provare così:
EDIT: se tenete ai vostri occhi allora leggete direttamente la soluzione fornita da giammaria.
Se invece volete rischiare...
Il primo è corretto.
Perfetto, grazie!
mi rendo conto che è un po' ostico da leggere... date tempo al tempo
Mamma mia! E' un mostro quella roba lì! Apparte gli scherzi si legge!
"grimx":Il primo è corretto.
Perfetto, grazie!
mi rendo conto che è un po' ostico da leggere... date tempo al tempo
Mamma mia! E' un mostro quella roba lì! Apparte gli scherzi si legge!
Ahahahah in effetti.
Che poi sono scemo perché ho svolto tutti quei calcoli al numeratore
bastava raccogliere $tan(x)$
$sin(x) + tan^2(x) = tan(x)*( cos(x) + tan(x))$
Per il secondo, scrivo la seconda soluzione di Shocker in modo meno terrorizzante. Notando che $tan^2x=(sin^2x)/(cos^2x)$ il limite diventa
$=lim_(x->0)(sinx(1+sinx/(cos^2x)))/(x(2+tanx/x))=lim_(x->0)(sinx/x*(1+sinx/(cos^2x))/(2+tanx/x))=1*(1+0)/(2+1)=1/3$
$=lim_(x->0)(sinx(1+sinx/(cos^2x)))/(x(2+tanx/x))=lim_(x->0)(sinx/x*(1+sinx/(cos^2x))/(2+tanx/x))=1*(1+0)/(2+1)=1/3$
Non ho ancora visto bene la risoluzione del limite senza il principio di sostituzione, con questo invece ho capito tutto, grazie 
Avrei anche altri due dubbi (sorti dopo il compito appena fatto).
1) Se io al numeratore della frazione ho ad esempio $1+sin(x)$, posso dividere e moltiplicare soltanto il sin (x) per x? Così $ 1 + sin(x)/x*x= 1+x$(in un limite dove x->0)? Il testo di preciso non lo ricordo ma il passaggio che ho fatto e simile e il limite mi è risultato (credo).
2)Nel $lim_(X->5) (x^2-25)/sin(x-5)$ occorre fare una sostituzione? Io l' ho risolto senza, scomponendo la differenza di quadrati utilizzando il limite notevole in $((x-5))/sin(x-5)$ e poi mi restava $(x+5)$,sostituisco e risulta 10. È giusta la mia risoluzione?
Avrei anche altri due dubbi (sorti dopo il compito appena fatto).
1) Se io al numeratore della frazione ho ad esempio $1+sin(x)$, posso dividere e moltiplicare soltanto il sin (x) per x? Così $ 1 + sin(x)/x*x= 1+x$(in un limite dove x->0)? Il testo di preciso non lo ricordo ma il passaggio che ho fatto e simile e il limite mi è risultato (credo).
2)Nel $lim_(X->5) (x^2-25)/sin(x-5)$ occorre fare una sostituzione? Io l' ho risolto senza, scomponendo la differenza di quadrati utilizzando il limite notevole in $((x-5))/sin(x-5)$ e poi mi restava $(x+5)$,sostituisco e risulta 10. È giusta la mia risoluzione?
Il secondo limite è giusto; in sostanza, nel calcolare quel limite notevole hai fatto a mente la sostituzione.
Il discorso sul primo limite è più delicato: è lecito moltiplicare e dividere a piacimento ma non lo è calcolare solo un pezzo del limite. Nel seguente esempio è giusto (ma inutile) il primo passaggio e sbagliato il secondo
$lim_(x->0)(x-sinx)/(...)=lim_(x->0)(x-sinx/x*x)/(...)=lim_(x->0)(x-x)/(...)$
Il discorso sul primo limite è più delicato: è lecito moltiplicare e dividere a piacimento ma non lo è calcolare solo un pezzo del limite. Nel seguente esempio è giusto (ma inutile) il primo passaggio e sbagliato il secondo
$lim_(x->0)(x-sinx)/(...)=lim_(x->0)(x-sinx/x*x)/(...)=lim_(x->0)(x-x)/(...)$
Mmm capito, la sostituzione sarebbe in caso $x-5=t$? Il secondo limite non mi ricordo com'era di preciso, poi rivedo bene ciò che ho fatto. Grazie ancora
"matnice":
Ciao, non riesco a risolvere un esercizio:
Determina, se possibile, l'ordine di infinito della funzione.
$ f(x)= (x^5+x)/sqrt(x+1) $ per x-> +oo
Prima di tutto volevo calcolarlo io il limite e non ci sono riuscito...
Il seguente limite di cui parli:
$lim_(x->+oo) (x^5+x)/sqrt(x+1) = oo$
Penso che si possano trattare questi limiti senza nemmeno pensare, si arriva alle conlcusioni sapendo che per i limiti $x->oo$ si considerano le variabili di ordine maggiore, e quel $x^5 $ al numeratore cresce molto più rapidamente di quella radice al denominatore, quindi è uguale a $oo$
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