Calcolo dei minimi e massimi derivate??? aiuto

[IoooMe]

La prima: y = x + 2/x (solo 2 è fratto x)
La seconda: y = (x - 2)*4 (*4 cioè elevato alla quarta)

[BIT5]

La prima:

ricordando che la derivata di una somma e' uguale alla somma delle derivate, possiamo derivare addendo per addendo.

Chiamiamo D(y) la derivata..

Avremo dunque che

[math] D(y)=D \(x+ \frac{2}{x} \) = D(x) + D \( \frac{2}{x} \) [/math]

[math] D(x) = 1 \\ \\ \\ D \(\frac{2}{x} \) = D \(2x^{-1} \) = -1 \cdot 2x^{-2} = - \frac{2}{x^2}[/math]

Pertanto la derivata complessiva della prima sara'

[math] y'=1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2-2}{x^2} [/math]

(ho fatto il minimo comune denominatore, nell'ultimo passaggio...)

Vediamo quando y'=0

[math] \frac{x^2-2}{x^2} = 0 \to x^2-2=0 \to x= \pm \sqrt2 [/math]

Vediamo ora quando y'>0

[math] \frac{x^2-2}{x^2} > 0 [/math]

N>0 se

[math] x^2-2>0 \to x \sqrt2 [/math]

D>0 : siccome e' un quadrato, sara' sempre maggiore di zero (tranne per x=0, valore gia' escluso dal dominio della funzione)

Pertanto la frazione sara' > 0, per

[math] x< - \sqrt2 \cup x> \sqrt2 [/math]

( e di conseguenza minore di zero tra i due valori, ad eccezione di x=0 dove, ripeto, non esiste la funzione (e comunque non esiste la derivata perche' x=0 annulla il denominatore)

PErtanto la funzione cresce fino a

[math]- \sqrt2 [/math]

poi si annulla (punto di massimo) poi decresce da

[math]- \sqrt2 [/math]

a 0, in 0 non esiste, poi continua a decrescere fino a

[math] \sqrt2 [/math]

, punto in cui si annulla la derivata (minimo) e poi cresce nuovamente

Pertanto :

y crescente in

[math] (- \infty, - \sqrt2 ) \cup ( \sqrt2, + \infty) [/math]

ha un minimo relativo in

[math] x= \sqrt2 [/math]

e un massimo relativo in

[math] x= - \sqrt2[/math]

La seconda la derivo, poi le conclusioni le fai tu...

[math] y'=4(x-2)^3 [/math]

E' un cubo, quindi positivo se l'argomento e' positivo, negativo se l'argomento e' negativo..

Prova tu a discutere la derivata prima ;)