Calcolo Combinatorio - Permutazioni, disposizioni...

[littlestar89]

ho bisogno del vostro aiuto!
qualcuno mi darebbe una mano a risolvere questi esercizi?
grazie in anticipo..



• In 5 scaffali si devono sistemare 10 libri. Si dica in quanti modi diversi si possono
collocare
a) tali libri,
b) tutti i libri nello stesso scaffale,
c) non pi`u di 2 libri per scaffale.
N.B.: Sia i libri che gli scaffali sono distinguibili, ma non conta l’ordine di collocazione


• Per dipingere una casa costituita dal tetto e da quattro facciate distinte (Anteriore,
Posteriore, Laterale sinistra, Laterale destra) si hanno a disposizione dieci colori
diversi. Ciascuna delle cinque parti della casa dovrà essere dello stesso colore.
Si dica in quanti modi si possono colorare le cinque parti della casa utilizzando:
a) colori tutti diversi fra loro,
b) un unico colore,
c) esattamente due colori.

• In un’aula con 20 posti disposti su 4 file da 5 posti ciascuna si devono sistemare
15 studenti. Si dica in quanti modi diversi
a) si possono collocare tali studenti,
b) si possono collocare tali studenti senza che nessuna delle 4 file resti vuota.


• L’alfabeto italiano è costituito da 21 lettere, di cui 5 vocali e 16 consonanti. Si
dica quante sono le parole diverse che si possono costruire formate da
a) 10 lettere,
b) 10 lettere diverse, di cui 3 vocali e 7 consonanti,
c) 10 lettere, di cui 3 vocali e 7 consonanti.

[Progettista HW]

Devi conoscere solo una formuletta... (comunque non creare due post identici, usa il tasto "Modifica" e nel titolo non mettere "Help", "please" o cose del genere, perché tutti hanno gli stessi diritti e non si creerebbe caos nel forum).

Ti faccio ragionare. Prendiamo N palline e K scatole, con K < N. Vuoi sapere in quanti modi possibili posso inserire le palline nelle scatole, tenendo conto dell'ordine.

Nella prima scatola posso inserire N palline, nella seconda scatola posso inserire N-1 palline (1 pallina l'ho già inserita), nella terza scatola posso inserire N-2 palline, e così via, finché le scatole non finiscono.

Tali modi di inserire le palline, tenendo conto dell'ordine, si chiamano DISPOSIZIONI e si indicano con

[math]D_{n,k}[/math]

.

Dalla precedente dimostrazione, ricaviamo che:

[math]D_{n,k}=n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)[/math]

Se le N palline fossero in numero uguale alle scatole K, cioè N=K, allora avremmo le PERMUTAZIONI, che si indicano con

[math]P_n[/math]

. Per lo stesso motivo precedente, avremo che:

[math]D_{n,n}= P_n=n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-n+1) = n![/math]

[math]n![/math]

si legge "n fattoriale". Se avessimo quindi 4!, allora vorrà dire che:

[math]4!= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24[/math]

Se invece volessimo trovare quanti modi possiamo inserire le N palline in K scatole, senza tener conto dell'ordine, avremmo le COMBINAZIONI, che si indicano con

[math]C_{n,k}[/math]

. Le combinazioni, a differenza delle disposizioni, non tengono conto dell'ordine, quindi corrispondono alle disposizioni divise per K!.
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Possiamo quindi riscrivere le formule nel seguente modo:

- PERMUTAZIONI (quando i contenitori sono in numero identico agli oggetti da inserire)

[math]P_n = n! = n(n-1)(n-2)...(n-n+1)[/math]

- DISPOSIZIONI (tengono conto dell'ordine)

[math]D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}[/math]

- COMBINAZIONI (non tengono conto dell'ordine)

[math]C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}[/math]

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Puoi quindi risolvere i tuoi problemi. Posta come faresti e se hai dei problemi, o se vuoi che ti siano corretti, scrivi pure.