Calcolo che non afferro
Ciao a tutti, vi domando un aiuto per una... somma 
Il fatto è questo, non capisco come hanno fatto a calcolarla.
$n/2((n+1)+(n+3)+(n+5)+....+(3n-1))=n/2*n*((n+1)+(3n-1))/2$
NON è un'equazione, semplicemente con dei passaggi che a me sfuggono hanno trovato il secondo membro a partire dal primo.
Qualcuno può indicarmi la via?
Grazie, buona serata a tutti.
Il fatto è questo, non capisco come hanno fatto a calcolarla.
$n/2((n+1)+(n+3)+(n+5)+....+(3n-1))=n/2*n*((n+1)+(3n-1))/2$
NON è un'equazione, semplicemente con dei passaggi che a me sfuggono hanno trovato il secondo membro a partire dal primo.
Qualcuno può indicarmi la via?
Grazie, buona serata a tutti.
Risposte
Se non sbablio, a parte il termine $n/2$ a fattore, è una progressione aritmetica di passo 2. La formula generale per il calcolo della somma di queste progressioni (come Gauss insegna) è $(a_(1)+a_(n))*n/2$.
Ciao
Ciao
Purtroppo non conosco le prograssioni aritmetiche.
C'è un modo più intuitivo?
E' un calcolo che viene fuori in un quesito dei Giochi di Archimede.
C'è un modo più intuitivo?
E' un calcolo che viene fuori in un quesito dei Giochi di Archimede.
Un modo intuitivo ci sarebbe ,anche se poi sotto sotto coincide con quello che ti e' stato
suggerito da manuk.
Indichiamo con S_n la somma in parentesi e scriviamola in due modi diversi (al diritto e al... rovescio):
$S_n=(n+1)+(n+3)+n+5)+......+(3n-5)+(3n-3)+(3n-1)$
$S_n=(3n-1)+(3n-3)+(3n-5)+....+(n+5)+(n+3)+(n+1) $
Sommando in colonna abbiamo:
$2S_n=(4n)+(4n)+(4n)+...+(4n)+(4n)+(4n)$
Pertanto si ha:
$2S_n=n*(4n) $ da cui $S_n=n/2*(4n)$ ma $4n=(n+1)+(3n-1)$ e quindi in definitiva risulta:
$S_n=n/2*((n+1)+(3n-1))$
Adesso non resta che riscrivere l'altro fattore trascurato $n/2$ per giungere al risultato complessivo.
karl
suggerito da manuk.
Indichiamo con S_n la somma in parentesi e scriviamola in due modi diversi (al diritto e al... rovescio):
$S_n=(n+1)+(n+3)+n+5)+......+(3n-5)+(3n-3)+(3n-1)$
$S_n=(3n-1)+(3n-3)+(3n-5)+....+(n+5)+(n+3)+(n+1) $
Sommando in colonna abbiamo:
$2S_n=(4n)+(4n)+(4n)+...+(4n)+(4n)+(4n)$
Pertanto si ha:
$2S_n=n*(4n) $ da cui $S_n=n/2*(4n)$ ma $4n=(n+1)+(3n-1)$ e quindi in definitiva risulta:
$S_n=n/2*((n+1)+(3n-1))$
Adesso non resta che riscrivere l'altro fattore trascurato $n/2$ per giungere al risultato complessivo.
karl
Mi sa di aver perso qualche passaggio... come si dimostra che gli addendi sono proprio $n$?
Il numero dei termini di una progressione aritmetica di ragione d
e' dato da $N=(a_n-a_1)/d+1$ ( basta partire dalla nota formula $a_n=a_1+(n-1)d$ )
Nel caso nostro e' $N=(3n-1-n-1)/2+1=n$
Se si vuole fare a meno di queste formule si puo' anche osservare che, per d=2,i numeri procedono
di due unita' in due unita' e che occorre quindi calcolare la distanza tra i termini iniziale e finale
e dividere per 2.
Alla fine si deve ricordare che ,cosi' facendo,degli elementi terminali se ne
prende in considerazione uno solo ( e questo spiega il +1).
karl
e' dato da $N=(a_n-a_1)/d+1$ ( basta partire dalla nota formula $a_n=a_1+(n-1)d$ )
Nel caso nostro e' $N=(3n-1-n-1)/2+1=n$
Se si vuole fare a meno di queste formule si puo' anche osservare che, per d=2,i numeri procedono
di due unita' in due unita' e che occorre quindi calcolare la distanza tra i termini iniziale e finale
e dividere per 2.
Alla fine si deve ricordare che ,cosi' facendo,degli elementi terminali se ne
prende in considerazione uno solo ( e questo spiega il +1).
karl
Bene Karl, ti ringrazio per la tua solita chiarezza delle tue delucidazioni.
Buon proseguimento di Estate a tutti, ciao.
Buon proseguimento di Estate a tutti, ciao.
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