Calcolo area tra due funzioni
Ciao, avrei bisogno di aiuto per capire il seguente problema.
Trovare l'area compresa tra i punti di intersezione delle due funzioni:
$y^2=2px$ e $x^2=2py$
Sono certa che le due funzioni rappresentino due parabole, una con asse verticale, l'altra orizzontale...
L'area dovrei trovarla calcolando l'integrale della differenza tra le parabole, cioè: $\int_{a}^{b} [(y^2-2px)-(x^2-2py)]dx$, ma non mi convince $p$... è un parametro? Come trovo i punti di intersezione esatti mettendo le due funzioni a sistema?
Trovare l'area compresa tra i punti di intersezione delle due funzioni:
$y^2=2px$ e $x^2=2py$
Sono certa che le due funzioni rappresentino due parabole, una con asse verticale, l'altra orizzontale...
L'area dovrei trovarla calcolando l'integrale della differenza tra le parabole, cioè: $\int_{a}^{b} [(y^2-2px)-(x^2-2py)]dx$, ma non mi convince $p$... è un parametro? Come trovo i punti di intersezione esatti mettendo le due funzioni a sistema?
Risposte
Un punto è chiaramente $x=0$ e $y=0$.
L'altro lo ottieni dividendo la prima per $x$ e la seconda per $y$ (il caso che siano nulli lo hai già considerato)
Da ciò ottieni che entrambe sono uguali a $2p$ perciò $y^2/x=x^2/y\ ->\ y^3=x^3\ ->\ y=x$
Sostituendo la soluzione in una delle due ottieni, per esempio $x^2-2px=0$, che per ogni $p$ ha come soluzioni i punti $O=(0,0)$ e $P=(2p,2p)$
Mi pare …
Cordialmente, Alex
L'altro lo ottieni dividendo la prima per $x$ e la seconda per $y$ (il caso che siano nulli lo hai già considerato)
Da ciò ottieni che entrambe sono uguali a $2p$ perciò $y^2/x=x^2/y\ ->\ y^3=x^3\ ->\ y=x$
Sostituendo la soluzione in una delle due ottieni, per esempio $x^2-2px=0$, che per ogni $p$ ha come soluzioni i punti $O=(0,0)$ e $P=(2p,2p)$
Mi pare …
Cordialmente, Alex
"Lucia01":
Sono certa che le due funzioni rappresentino due parabole, una con asse verticale, l'altra orizzontale...
E' esatto.
Ripartendo da quello che ha scritto alex, sai che si incontrano nell'origine e nel punto (2p,2p), quindi l'area racchiusa si trova nel primo quadrante (assumendo $p>0$)
Entrambe le variabili hanno quindi il medesimo intervallo [0,2p] ma dobbiamo sceglierne una. X o Y?
Direi che x va benissimo, no? Quindi riscriviamo entrambe le funzioni con x come variabile indipendente.
$y=+-sqrt(2px)$ (e prendimo il ramo positivo perchè è quello che ci interessa) e $y=x^2/(2p)$
La prima sta sopra quindi l'integrale sarà $ int_(0)^(2p) [sqrt(2px)-x^2/(2p)] dx $
P.S. Nota che assumendo $p<0$ avremo la medesima area in valore assoluto, quindi non abbiamo perso nulla quanto a generalizzazione. Lavoreremmo semplicemente nel terzo quadrante.
Grazie mille, gentilissimi!
Se non ho sbagliato i calcoli:
$ int_(0)^(2p) [sqrt(2px)-x^2/(2p)] dx = [\frac{2\sqrt(2)x\sqrt(px)}{3}-\frac{x^3}{6p}]_{0}^{2p}$
Se non ho sbagliato i calcoli:
$ int_(0)^(2p) [sqrt(2px)-x^2/(2p)] dx = [\frac{2\sqrt(2)x\sqrt(px)}{3}-\frac{x^3}{6p}]_{0}^{2p}$
Ricontrolla...
$[(2sqrt(2p))/3sqrt(x^3)-x^3/(6p)]_(0)^(2p)=(4p^2)/3$
$[(2sqrt(2p))/3sqrt(x^3)-x^3/(6p)]_(0)^(2p)=(4p^2)/3$
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