Calcolare una funzione inversa

[matematicus95]

ho la seguente funzione : $f(x)=x^2-x+2$ devo calcolare la sua inversa quindi :
devo isolare la x $x^2-x=y-2$ poi $x(x-1)=y-2$
poi come continuo e come faccio a trovare la sua inversa?

[TheDoubt]

La funzione proposta non è iniettiva (infatti è una parabola), perciò non può essere invertita.
In teoria non sarebbe neppure suriettiva, ma la si potrebbe rendere tale restringendo il codominio all'insieme [7/4, +inf[, dove 7/4 è l'ordinata del punto minimo, ossia il vertice della parabola.

Volendola invertire, bisognerebbe restringere anche il dominio.
Considerando D=[1/2, +inf[, dove x=1/2 è l'ascissa del vertice, allora si potrebbe invertire.

Riassumendo, dominio ristretto a $ D = [frac{1}{2}, +oo ) $ , codominio ristretto a $ C = [frac{7}{4}, +oo ) $ , allora si inverte.

$ y=x^2-x+2 $
$ y-2 = x^2-x $
$ y-2 = (x- frac{1}{2})^2 - frac{1}{4} $
$ y-2+frac{1}{4}=(x-frac{1}{2})^2 $
$ sqrt(y-frac{7}{4}) = x-frac{1}{2} $
$ x = frac{1}{2} + sqrt{y+frac{7}{4}} $

[@melia]

Ma anche, risolvendo come una banale equazione di secondo grado
$x^2-x+2-y=0$ da cui $x_(1,2)=(1+-sqrt(1-8+4y))/2=(1+-sqrt(4y-7))/2$ da cui le due inverse
$x=(1-sqrt(4y-7))/2$ per $x<1/2$ e
$x=(1+sqrt(4y-7))/2$ per $x>=1/2$

[matematicus95]

da dove esce $x<1/2$ e $x>=1/2$ ? io la parabola ancora la so disegnare.

[@melia]

$x=(1-sqrt(4y-7))/2$ può essere scritta $x=1/2-sqrt(4y-7)/2$ e quindi darà valori della x minori o uguali a $1/2$, allo stesso modo $x=(1+sqrt(4y-7))/2$ può essere scritta $x=1/2+sqrt(4y-7)/2$, con conseguenti valori di x maggiori o uguali a $1/2$, se usi entrambe le inverse il valore $1/2$ deve essere messo una volta sola, io ho scelto di metterlo nel maggiore.