Calcolare sen e cos di angoli non noti ?
ciao a tutti durante lo svolgimento di un esercizio mi viene chiesto di calcolare il $ sen((2pi)/5 ) $ ed il relativo coseno.. poi dovrei calcolare anche il $ sen((5pi)/8 ) $ ed anche il coseno..
in generale come ci si riconduce agli angoli noti? non riesco proprio a capire come si svolge
in generale come ci si riconduce agli angoli noti? non riesco proprio a capire come si svolge
Risposte
il primo non è ignoto, corrisponde a 72°, complementare di 18° (si trova tramite la sezione aurea...: fammi sapere se è ancora ignoto); il secondo invece non è un angolo particolare, però corrisponde alla metà di 225° che è 45°+180°: quindi in base a seno e coseno di $5/4 pi$ e quindi tramite seno e coseno di $pi/4$ e con le formule di bisezione.
il primo si ancora è ignoto mentre il seno del secondo lo hai calcolato tramite la formula dell'addizione del seno e coseno?
$5/8 pi$ appartiene al secondo quadrante. lo specifico perché devo applicare le formule di bisezione e devo sapere se devo mettere + o - davanti alla radice quadrata: so quindi che il seno è positivo.
$sin (5/8 pi) = sqrt((1-cos(5/4 pi))/2)$, ma $cos(5/4 pi)= - cos(5/4 pi -pi) = -cos(pi/4)=-sqrt2/2$, quindi sostituisco ed ottengo: $sin (5/8 pi) = sqrt((1-cos(5/4 pi))/2)= sqrt((1+sqrt2/2)/2)=sqrt((2+sqrt2)/4)=(sqrt(2+sqrt2))/2$.
per quanto riguarda l'altro, ti ricordo che il lato del decagono regolare è uguale alla sezione aurea del raggio del cerchio circoscritto. non mi pare che ci sia un modo più veloce per arrivare alla formula. se non sai quello che ti sto dicendo, ti propongo una "costruzione interessante": disegna un triangolo isoscele che dovrebbe rappresentare uno "spicchio" del decagono regolare, e traccia la bisettrice di un angolo alla base; osserva gli angoli e i triangoli che si vengono a formare, ragionaci e poi ci risentiamo.
$sin (5/8 pi) = sqrt((1-cos(5/4 pi))/2)$, ma $cos(5/4 pi)= - cos(5/4 pi -pi) = -cos(pi/4)=-sqrt2/2$, quindi sostituisco ed ottengo: $sin (5/8 pi) = sqrt((1-cos(5/4 pi))/2)= sqrt((1+sqrt2/2)/2)=sqrt((2+sqrt2)/4)=(sqrt(2+sqrt2))/2$.
per quanto riguarda l'altro, ti ricordo che il lato del decagono regolare è uguale alla sezione aurea del raggio del cerchio circoscritto. non mi pare che ci sia un modo più veloce per arrivare alla formula. se non sai quello che ti sto dicendo, ti propongo una "costruzione interessante": disegna un triangolo isoscele che dovrebbe rappresentare uno "spicchio" del decagono regolare, e traccia la bisettrice di un angolo alla base; osserva gli angoli e i triangoli che si vengono a formare, ragionaci e poi ci risentiamo.
ecco che mi salgono i dubbi..
allora perchè $ (5/8pi ) $ sta nel primo quadrante ? ho visto che pigreco ottavi corrisponde a 22°30 e quindi 5pigreco/ottavi sarebbe 112°30 il che mi fa pensare che si trova nel secondo quadrante dato che devo fare 5 giri no ?
poi perchè $ cos (5/8pi ) $ lo hai riscritto come $ -cos(5/8pi-pi ) $ ?
allora perchè $ (5/8pi ) $ sta nel primo quadrante ? ho visto che pigreco ottavi corrisponde a 22°30 e quindi 5pigreco/ottavi sarebbe 112°30 il che mi fa pensare che si trova nel secondo quadrante dato che devo fare 5 giri no ?
poi perchè $ cos (5/8pi ) $ lo hai riscritto come $ -cos(5/8pi-pi ) $ ?
leggi la prima riga: c'è scritto primo? NO: c'è scritto secondo quadrante!
forse te lo sei immaginato perché ho detto che il seno è positivo? ma il seno è positivo sia nel primo sia nel secondo...
non mi hai fatto domande sulla formula di bisezione, per cui penso che quella ti sia chiara.
l'altra formula riguarda tutti gli angoli (formule di angoli associati): anche lì hai letto male perché ho usato $5/4 pi$, angolo del terzo quadrante, e non $5/8 pi$, angolo del secondo quadrante:
ho usato la formula che riconduce angoli del terzo quadrante al primo
$cos(alpha + pi)= cos alpha= cos(alpha -pi)$: sono angoli che differiscono di un angolo piatto (li definiremmo impropriamente "opposti").
forse te lo sei immaginato perché ho detto che il seno è positivo? ma il seno è positivo sia nel primo sia nel secondo...
non mi hai fatto domande sulla formula di bisezione, per cui penso che quella ti sia chiara.
l'altra formula riguarda tutti gli angoli (formule di angoli associati): anche lì hai letto male perché ho usato $5/4 pi$, angolo del terzo quadrante, e non $5/8 pi$, angolo del secondo quadrante:
ho usato la formula che riconduce angoli del terzo quadrante al primo
$cos(alpha + pi)= cos alpha= cos(alpha -pi)$: sono angoli che differiscono di un angolo piatto (li definiremmo impropriamente "opposti").
siccome questo mi serviva per risolvere un esercizio sui numeri complessi, e dato che sono un pò a digiuno sulla goniometria e trigonometria in generale, conosci per caso qualche sito dove si riprendono tali concetti ?
inoltre si ho dei dubbi anche sulla formula di bisezione.. perchè in quella formula hai messo sotto radice coseno di 5pigreco/4 ?
ho cercato parecchio materiale perché il testo scolastico è carente: comunque puoi vedere anche sul sito di matematicamente, progetto Matematica C^3: la goniometria è nel libro del 4°, "dal problema al modello, vol. 2", questo è il link: https://www.matematicamente.it/manuali-s ... o-volume-2
qualcosa puoi trovare anche altrove:
http://www.math.it/formulario/goniometria.htm
http://www.math.it/goniometria/ud1.htm
http://progettomatematica.dm.unibo.it/T ... /home1.htm
questi sono i primi risultati della ricerca tramite google.
questi dovrebbero riguardare i complessi:
http://www.lezionidimate.it/category/te ... iometria3/
http://areeweb.polito.it/didattica/poly ... plessi.pdf
spero siano utili.
comunque, riguardo il discorso sulla geometria, ti consiglio di ripensarci e provare da solo:
uno spicchio di decagono regolare ha gli angoli di 36°, 72°, 72°, e 72 è doppio di 36, per cui se tracci la bisettrice di un angolo alla base il triangolo isoscele si divide in due triangoli isosceli, di cui uno simile al triangolo di partenza.
dalla proporzionalità tra i lati si ha che la base (che poi è il lato del decagono) è media proporzionale tra il lato obliquo (che è il raggio) e un segmento che misura quanto la differenza tra i due (in altre parole il lato $x$ del decagono regolare è medio proporzionale tra il raggio $1$ e la "parte rimanente" $1-x$)... il famoso lato x è il doppio del seno di 18°.
qualcosa puoi trovare anche altrove:
http://www.math.it/formulario/goniometria.htm
http://www.math.it/goniometria/ud1.htm
http://progettomatematica.dm.unibo.it/T ... /home1.htm
questi sono i primi risultati della ricerca tramite google.
questi dovrebbero riguardare i complessi:
http://www.lezionidimate.it/category/te ... iometria3/
http://areeweb.polito.it/didattica/poly ... plessi.pdf
spero siano utili.
comunque, riguardo il discorso sulla geometria, ti consiglio di ripensarci e provare da solo:
uno spicchio di decagono regolare ha gli angoli di 36°, 72°, 72°, e 72 è doppio di 36, per cui se tracci la bisettrice di un angolo alla base il triangolo isoscele si divide in due triangoli isosceli, di cui uno simile al triangolo di partenza.
dalla proporzionalità tra i lati si ha che la base (che poi è il lato del decagono) è media proporzionale tra il lato obliquo (che è il raggio) e un segmento che misura quanto la differenza tra i due (in altre parole il lato $x$ del decagono regolare è medio proporzionale tra il raggio $1$ e la "parte rimanente" $1-x$)... il famoso lato x è il doppio del seno di 18°.
"danielx24":
inoltre si ho dei dubbi anche sulla formula di bisezione.. perchè in quella formula hai messo sotto radice coseno di 5pigreco/4 ?
la formula che ho applicato è la seguente:
$sin (alpha/2)= +- sqrt((1-cos alpha)/2)$
deriva da quella di duplicazione del coseno
$cos(2x)=cos^2 x - sin^2 x=1-2sin^2x=2cos^2x-1$
qui serve la seconda $cos(2x)=1-2sin^2x$
$2sin^2x=1-cos2x->sin^2x=(1-cos2x)/2$
quella ricavata si ha con $alpha=2x->alpha/2=x$
finalmente sono riuscito a capire solo che questo procedimento non si può applicare a tutti gli angoli che ad esempio sono interessato.. ad esempio come dicevo prima se dovrei calcolare il sen di pigreco/5 non potrei usare la formula di bisezione
$sin (pi/5) =sin (2*pi/10)=2*sin (pi/10)*cos (pi/10)$, dove appunto $pi/10$ è lo stesso valore particolare per cui il seno è la metà della sezione aurea di $1$.
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