Calcolare perimetro ed area del poligono regolare di $n$ lati inscritto nella circonferenza unitaria
La traccia è nel titolo.. Ecco il meraviglioso disegno:
Scusate, il pietoso disegno di riferimento.. Ma non mi sta funzionando bene GeoGebra -.- spero di essere comunque abbastanza chiaro....
Nell'esempio si vede un pentagono regolare, tuttavia generalizzando il problema, tale poligono di $n$ lati può essere suddiviso in $n$ triangoli uguali che lo compongono (con lati rossi e verdi).. la rappresentazione rende evidente il fatto che i vertici di tale poligono hanno lunghezza unitaria (coincidono con il raggio della circonferenza considerata).. da ciò deriva che due dei lati di ognuno di questi $n$ triangoli scelti (quelli verdi) hanno misura $1$ e quindi i triangoli sono isosceli.. Di conseguenza, considerando il lato restante come base (quello rosso) ( da notare che esso sarà uno dei lati del poligono regolare considerato), si ha che l'altezza (in nero) di questo triangolo lo divide in due triangoli rettangoli uguali con base $b/2$.. Si ha inoltre che i vari lati degli $n$ triangoli dividono l'angolo giro in $n$ parti uguali e quindi l'angolo $a$ (in blu) misura $2pi/2n=\pi/n$. Da qui si ha che $h=1 \cos (\pi/n)$, mentre $b=2 \sin (\pi/n)$. Da qui il perimetro del poligono è dato da $nb=2n \sin (\pi/n)$, mentre l'area è data da $n bh/2 = n \cos (\pi/n) \sin (\pi/n)$.
Il ragionamento è corretto? Ho sbagliato qualcosa??
Vi ringrazio in anticipo ^^
[xdom="Seneca"]Sposto in Secondaria II grado.[/xdom]
Scusate, il pietoso disegno di riferimento.. Ma non mi sta funzionando bene GeoGebra -.- spero di essere comunque abbastanza chiaro....
Nell'esempio si vede un pentagono regolare, tuttavia generalizzando il problema, tale poligono di $n$ lati può essere suddiviso in $n$ triangoli uguali che lo compongono (con lati rossi e verdi).. la rappresentazione rende evidente il fatto che i vertici di tale poligono hanno lunghezza unitaria (coincidono con il raggio della circonferenza considerata).. da ciò deriva che due dei lati di ognuno di questi $n$ triangoli scelti (quelli verdi) hanno misura $1$ e quindi i triangoli sono isosceli.. Di conseguenza, considerando il lato restante come base (quello rosso) ( da notare che esso sarà uno dei lati del poligono regolare considerato), si ha che l'altezza (in nero) di questo triangolo lo divide in due triangoli rettangoli uguali con base $b/2$.. Si ha inoltre che i vari lati degli $n$ triangoli dividono l'angolo giro in $n$ parti uguali e quindi l'angolo $a$ (in blu) misura $2pi/2n=\pi/n$. Da qui si ha che $h=1 \cos (\pi/n)$, mentre $b=2 \sin (\pi/n)$. Da qui il perimetro del poligono è dato da $nb=2n \sin (\pi/n)$, mentre l'area è data da $n bh/2 = n \cos (\pi/n) \sin (\pi/n)$.
Il ragionamento è corretto? Ho sbagliato qualcosa??
Vi ringrazio in anticipo ^^
[xdom="Seneca"]Sposto in Secondaria II grado.[/xdom]
Risposte
Il ragionamento è corretto. Ti è sfuggito di parlare di lunghezza dei vertici, ma è evidente che si tratta di un lapsus e che l'idea era giusta.
Scusate se ho sbagliato sezione... In che senso di lunghezze dei vertici? Visti come vettori?
No niente... Giammaria ti ha solo fatto notare che a un certo punto hai scritto
...che i vertici di tale poligono hanno lunghezza unitaria...
Sì.... Intendevo, più precisamente: le lunghezze dei segmenti in verde corrispondono alla lunghezza del raggio della circonferenza, che è unitaria.... 
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