Calcolare l'area compresa tra curva e asse
Consideriamo una curva continua,senza cappi,la cui equazione è y=f(x),in coordinate cartesiane.Si domanda di trovare l'area compresa fra questa curva,l'asse degli x e le due perpendicolari all'asse degli x,AA' e BB',condotte per due punti A e B della curva.Le distanze OA',OB' si chiamano rispettivamente a e b.Sono le coordinate di A' e B' sull'asse degli x. Il testo mi suggerrisce di dividere l'area in parola in strisce parallele di uguale larghezza e di fare di queste strisce dei rettangoli di uguale larghezza separando le parti triangolari in alto.Io non riesco a tradurre ciò in linguaggio di derivate perchè non le ho ancora studiate. potreste spiegarmi questo problema spiegandomi cosa è una derivata e come si arriva al calcolo finale dell'area?
Risposte
Non è più semplice integrare?
io però non ho ancora studiato gli integrali!
Posso chiederti da dove viene questo esercizio? Mi pare strano che un insegnante assegni un problema da fare con gli integrali senza avere spiegato gli integrali. Suppongo che per curva senza cappi tu intenda una curva che non sia intrecciata, cioè una curva tipo parabola, cubica, seno, coseno et cetera et cetera: questa curva ha una equazione precisa?
L'ho preso da un libro chiamato i grandi matematici di Eric Bell. si intende una curva come dici tu.Il problema mi ha subito incuriosito però non riesco a comprenderlo in modo perfetto perchè non ho ancora studiato gli integrali e l'esempio sul libro non è molto chiaro anche se in linea generale ho capito il metodo.
[mod="Steven"]Ciao, ho modificato il titolo perché troppo generico (Curiosità su un problema di matematica).
La prossima volta scegline uno più dettagliato, serve per migliorare l'esplorazione del forum a utenti, ospiti e staff.
Grazie per la comprensione.
[/mod]
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quel libro è molto bello ma sinceramente mi ha lasciato un pò confuso su certi punti...
Se vuoi tradurre in un linguaggio formale ciò che hai scritto devi fare:
$\lim_{n \to \infty}(a-b)/n\sum_{k=1}^n f_n $
... è difficile da spiegare però devi immaginare di dividere l'area sottesa alla funzione nell'intervallo a b ( estremi inclusi) in un numero infinito di rettangolini la cui somma delle aree, a causa di ciò, dà l'area sottesa alla funzione...
Riguardo al calcolo della derivata la cosa si fa un pò più semplice se hai già studiato i limiti notevoli bene...
Immagina di avere la curva generata da $f_x = x^2 $ e immagina di voler calcolare il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in un punto (x) da te scelto...
Come ben tu sai non si può calcolare un rappotro incrementale ( il famoso $(\Delta y)/(\Delta x )$ ) avendo solo un punto, quindi pensa ora di " prendere " un'altro punto della funzione sopracitata che chiameremo (a + h )
Ora possiamo calcolare il rapporto incrementale:
$(\Delta y)/(\Delta x ) = (f_(x+h) - (f_x))/( x+h-x ) = ( x^2 + 2xh + h^2 - x^2)/h =2x + h $
a questo punto abbiamo però ottenuto solamente il coefficente angolare ( la pendenza ) della retta passante per i due punti della parabola avente ascissa $x^2$ e $2xh + h^2 - x^2$...
Immagina di rudurre sempre più h : otterremo così il coefficente angolare della retta passante solo per il nostro punto iniziale che avevamo scelto (x)... quindi:
$\lim_{h -> 0} 2x+h = 2x $ !!!!
ti faccio ora un esempio pratico: prendi la funzione x^2 e cerca di trovare il coefficente angolare della retta tangente al grafico nel punto la cui ordinata è 9: il numeri che cerco sarà $2(sqrt 9) = 6 $... provare per credere ( correggi ovviamente in modo opportuno l'altezza della retta con l'intercette che trovi adeguata caso per caso... )
Immagino che tu stia facendo l'autodidatta... Splendida cosa !!!
Sono sempre stata anche io una persona curiosa... Se vuoi ricevere uno stimolo un pò meno sofisticato del calcolo integrale ( ma non meno interessante... anzi !!! ) ti suggerisco di informarti sui numeri e le funzioni ad argomento complesso, numeri immaginari etcetera etcetera ( curiosa un pò la funzione zeta di riemann casomai... ).... buona fortuna e... in bocca al lupo !!!
( non ti preoccupare se non capisci bene ciò che ho scritto... non sono affatto bravo a spiegare e non sono esattamente cose "banali"... )
Ciaooo !!!!
Se vuoi tradurre in un linguaggio formale ciò che hai scritto devi fare:
$\lim_{n \to \infty}(a-b)/n\sum_{k=1}^n f_n $
... è difficile da spiegare però devi immaginare di dividere l'area sottesa alla funzione nell'intervallo a b ( estremi inclusi) in un numero infinito di rettangolini la cui somma delle aree, a causa di ciò, dà l'area sottesa alla funzione...
Riguardo al calcolo della derivata la cosa si fa un pò più semplice se hai già studiato i limiti notevoli bene...
Immagina di avere la curva generata da $f_x = x^2 $ e immagina di voler calcolare il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in un punto (x) da te scelto...
Come ben tu sai non si può calcolare un rappotro incrementale ( il famoso $(\Delta y)/(\Delta x )$ ) avendo solo un punto, quindi pensa ora di " prendere " un'altro punto della funzione sopracitata che chiameremo (a + h )
Ora possiamo calcolare il rapporto incrementale:
$(\Delta y)/(\Delta x ) = (f_(x+h) - (f_x))/( x+h-x ) = ( x^2 + 2xh + h^2 - x^2)/h =2x + h $
a questo punto abbiamo però ottenuto solamente il coefficente angolare ( la pendenza ) della retta passante per i due punti della parabola avente ascissa $x^2$ e $2xh + h^2 - x^2$...
Immagina di rudurre sempre più h : otterremo così il coefficente angolare della retta passante solo per il nostro punto iniziale che avevamo scelto (x)... quindi:
$\lim_{h -> 0} 2x+h = 2x $ !!!!
ti faccio ora un esempio pratico: prendi la funzione x^2 e cerca di trovare il coefficente angolare della retta tangente al grafico nel punto la cui ordinata è 9: il numeri che cerco sarà $2(sqrt 9) = 6 $... provare per credere ( correggi ovviamente in modo opportuno l'altezza della retta con l'intercette che trovi adeguata caso per caso... )
Immagino che tu stia facendo l'autodidatta... Splendida cosa !!!
Sono sempre stata anche io una persona curiosa... Se vuoi ricevere uno stimolo un pò meno sofisticato del calcolo integrale ( ma non meno interessante... anzi !!! ) ti suggerisco di informarti sui numeri e le funzioni ad argomento complesso, numeri immaginari etcetera etcetera ( curiosa un pò la funzione zeta di riemann casomai... ).... buona fortuna e... in bocca al lupo !!!
( non ti preoccupare se non capisci bene ciò che ho scritto... non sono affatto bravo a spiegare e non sono esattamente cose "banali"... )
Ciaooo !!!!
"rofellone":
Il testo mi suggerrisce di dividere l'area in parola in strisce parallele di uguale larghezza e di fare di queste strisce dei rettangoli di uguale larghezza separando le parti triangolari in alto.Io non riesco a tradurre ciò in linguaggio di derivate perchè non le ho ancora studiate.
Non è altro che la dimostrazione dell'integrale di Riemann:
Invece di calcolare l'area continua, calcoli le aree dei rettangolini della tua suddivisione ($x_1, x_2, ...,x_n$), facendo base ($x_i-x_{i-1}$) moltiplicato per altezza ($f(x_i)$ oppure $f(x_{i-1})$)
Voglio ringraziarvi tutti per i suggeerimenti 
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