Calcolare l'Area
Esercizio 1
Calcolare l'area del parallelogramma $ OBCA $ conoscendo i suoi tre vertici consecutivi $ O(0,0) ; B(3,-1) ; C(5,1)$
Calcolare l'area del parallelogramma $ OBCA $ conoscendo i suoi tre vertici consecutivi $ O(0,0) ; B(3,-1) ; C(5,1)$
Risposte
Qual è il problema esattamente?
L'ultimo vertice lo puoi trovare sfruttando il fatto che il parallelogramma ha lati a due a due paralleli.
Costruisci un po' di rette sfruttando i tre vertici e trova "l'ultima retta" con i coefficienti angolari.
Paola
L'ultimo vertice lo puoi trovare sfruttando il fatto che il parallelogramma ha lati a due a due paralleli.
Costruisci un po' di rette sfruttando i tre vertici e trova "l'ultima retta" con i coefficienti angolari.
Paola
"prime_number":
Qual è il problema esattamente?
L'ultimo vertice lo puoi trovare sfruttando il fatto che il parallelogramma ha lati a due a due paralleli.
Costruisci un po' di rette sfruttando i tre vertici e trova "l'ultima retta" con i coefficienti angolari.
Paola
Non ho compreso bene gli step che mi avrebbero portato al risultato
! Ho fatto un sacco di passaggi che c'e' da mettersi le mani nei capelli
, ecco cosa ho fatto io.... a) Ricavo la retta passante per $ bar(OC) $
$ y=1/5x $
b) Ricavo la retta perpendicolare a $ y=1/5x $ passante per $ B $
$ 5x+y-14=0 $
c) Ricavo il punto di intersezione tra $ y=1/5x $ e $ 5x+y-14=0 $
$ Int.(35/13;7/13) $
d) Ricavo l'area del $ hat(BIC) $
Distanza tra $ bar(BI) $ data dalla formula della distanza $ d=sqrt((x_I-x_B)^2+(y_I-y_B)^2) $
$ d_1=4/13sqrt(27) $
Distanza tra $ bar(CI) $ data dalla formula della distanza $ d=sqrt((x_I-x_C)^2+(y_I-y_C)^2) $
$ d_2=6/13sqrt(26) $
Area $ hat(BIC) = (b*h)/2$
$ A_1=324/169 $
e) Ricavo l'area del $ hat(BIO) $
Stessi step dei passaggi precedenti, quindi:
Distanza tra $ bar(IO)=7/13sqrt(26) $
Area $ hat(BIO) = (b*h)/2$
$ hat(BIO) = ((7/13sqrt(26))(4/13sqrt(27)))/(2)$
$ A_2=2,1 $
f)Area totale
$ (A_1+A_2)*2=A_Tot $
$ (1,9+2,1)*2=8 $
Io farei così: il quarto punto, chiamiamolo $A$, deve essere tale che $AO || BC$ e $AC || OB$
Quindi bisogna trovare le rette $r'$ (passante per $B$ e $C$) e $s'$ (passante per $O$ e $B$).
Poi trovare $r$, parallela ad $r'$ e passante per $O$, ed $s$, parallela ad $s'$ e passante per $C$.
L'intersezione tra $r$ ed $s$ sarà il punto $A$.
Quindi bisogna trovare le rette $r'$ (passante per $B$ e $C$) e $s'$ (passante per $O$ e $B$).
Poi trovare $r$, parallela ad $r'$ e passante per $O$, ed $s$, parallela ad $s'$ e passante per $C$.
L'intersezione tra $r$ ed $s$ sarà il punto $A$.
"Gi8":
Io farei così: il quarto punto, chiamiamolo $A$, deve essere tale che $AO || BC$ e $AC || OB$
Quindi bisogna trovare le rette $r'$ (passante per $B$ e $C$) e $s'$ (passante per $O$ e $B$).
Poi trovare $r$, parallela ad $r'$ e passante per $O$, ed $s$, parallela ad $s'$ e passante per $C$.
L'intersezione tra $r$ ed $s$ sarà il punto $A$.
Un attimo che non sto capendo....
. Ho notato infatti, che il testo mi da anche il risultato del punto $ A $ , ovviamente il risultato dell'area che ho trovato io è corretto!
E se trovo il punto $ A $ come faccio a trovare l'area?
Insomma, gli step che ho fatto io, mi hanno fatto perdere un sacco di tempo, come potrei fare per essere più veloce?
Se non ho capito male, facendo come mi hai detto tu, trovo l'altra metà del parallelogrammo, in questo equivalenti a due triangoli scaleni, ok, ma i calcoli che ho fatto io "che mi sembrano troppo lunghi", li ho fatti su un triangolo scaleno e poi ho moltiplicato per due?
Grazie mille!
RIscrivo in formule quello che ho detto prima. L'obiettivo è trovare $A$:
Abbiamo $ O(0,0) ; B(3,-1) ; C(5,1)$
$r': (y+1)/(1+1)= (x-3)/(5-3)=> r': y= x-4$ (retta passante per $B$ e $C$)
$s': (y-0)/(-1-0)= (x-0)/(3-0) => s': y= -1/3 x $ (retta passante per $O$ e $B$)
La retta $r$ è parallela ad $r'$ e passa per $O$, dunque $r: y= x$;
La retta $s$ è parallela ad $s'$ e passa per $C$, dunque $s: y= -1/3 x +8/3$
Ora faccio l'intersezione tra le due rette ottenendo $A(2,2)$
Abbiamo $ O(0,0) ; B(3,-1) ; C(5,1)$
$r': (y+1)/(1+1)= (x-3)/(5-3)=> r': y= x-4$ (retta passante per $B$ e $C$)
$s': (y-0)/(-1-0)= (x-0)/(3-0) => s': y= -1/3 x $ (retta passante per $O$ e $B$)
La retta $r$ è parallela ad $r'$ e passa per $O$, dunque $r: y= x$;
La retta $s$ è parallela ad $s'$ e passa per $C$, dunque $s: y= -1/3 x +8/3$
Ora faccio l'intersezione tra le due rette ottenendo $A(2,2)$
"Gi8":
RIscrivo in formule quello che ho detto prima. L'obiettivo è trovare $A$:
Abbiamo $ O(0,0) ; B(3,-1) ; C(5,1)$
$r': (y+1)/(1+1)= (x-3)/(5-3)=> r': y= x-4$ (retta passante per $B$ e $C$)
$s': (y-0)/(-1-0)= (x-0)/(3-0) => s': y= -1/3 x $ (retta passante per $O$ e $B$)
La retta $r$ è parallela ad $r'$ e passa per $O$, dunque $r: y= x$;
La retta $s$ è parallela ad $s'$ e passa per $C$, dunque $s: y= -1/3 x +8/3$
Ora faccio l'intersezione tra le due rette ottenendo $A(2,2)$
Vuoi dire che se ricavo il punto $ A $ avrò tempi più rapidi
"Bad90":
....
Insomma, gli step che ho fatto io, mi hanno fatto perdere un sacco di tempo, come potrei fare per essere più veloce?
....
Mi sembra che il problema si potrebbe risolvere rapidamente anche così .....
L'altezza del parallelogramma relativa alla base $OB$ è la distanza ($bar(CH)$) di $C$ dalla retta $OB$.
Per trovarla serve calcolare l'equazione della retta $OB$ che è $y=-1/3x->x+3y=0$.
Quindi:
l'altezza $bar(CH)=(|a*x_C+b*y_C+c|)/sqrt(a^2+b^2)=(|1*5+3*1+0|)/sqrt(1+3^2)=8/sqrt(10)=4/5sqrt(10)$,
la base $bar(OB)=sqrt(1+3^2)=sqrt(10)$,
l'area richiesta è $S=bar(OB)*bar(CH)=sqrt(10)*4/5sqrt(10)=8$.
"Bad90":Il metodo più veloce in assoluto è quello appena scritto da chiaraotta (anche se poteva evitare di scriverti tutti i passaggi). Mi sembra il procedimento migliore, dato che si fa anche a meno di calcolare il punto $A$.
Vuoi dire che se ricavo il punto $ A $ avrò tempi più rapidi?
Io volevo solo farti capire come calcolare il quarto punto di un parallelogramma, dati i primi tre punti.
"Gi8":Il metodo più veloce in assoluto è quello appena scritto da chiaraotta . Mi sembra il procedimento migliore, dato che si fa anche a meno di calcolare il punto $A$.
[quote="Bad90"]Vuoi dire che se ricavo il punto $ A $ avrò tempi più rapidi?
Io volevo solo farti capire come calcolare il quarto punto di un parallelogramma, dati i primi tre punti.[/quote]
Devo continuare a dire che chiaraotta, è un fenomeno
Per lei trovare l'uscita da un labirinto impossibile, è una passeggiata!
Con il suo metodo, si impiega meno di un minuto, io è da questa mattina che ci sbatto la testa
.Grazie mille!
Ed ecco un metodo ancora più veloce. L'area di OBC è $1/2 |D|$ essendo
$D=|(x_2-x_1,x_3-x_1),(y_2-y_1,y_3-y_1)|=|(3-0,5-0),(-1-0,1-0)|=3+5=8$
e poiché OBC è metà del parallelogramma l'area richiesta è $2*1/2*8=8$.
Credo però che l'intenzione di questo esercizio fosse fare trovare anche il quarto vertice.
$D=|(x_2-x_1,x_3-x_1),(y_2-y_1,y_3-y_1)|=|(3-0,5-0),(-1-0,1-0)|=3+5=8$
e poiché OBC è metà del parallelogramma l'area richiesta è $2*1/2*8=8$.
Credo però che l'intenzione di questo esercizio fosse fare trovare anche il quarto vertice.
Penso anche io lo stesso, infatti mi da i risultati dell'area e del vertice.
Esercizio 2
Calcolare l'area del quadrilatero ABCD di vertici $ A(1,1),B(5,1),C(7,6),D(3,4) $ .
Vedendo lafigura geometrica che viene fuori, mi e' venuto subito in mente di cominciare a disegnare segmenti per creare triangoli, ma facendo cosi' impiego ore! Come potrei fare per essere veloce?
Vi ringrazio.
Calcolare l'area del quadrilatero ABCD di vertici $ A(1,1),B(5,1),C(7,6),D(3,4) $ .
Vedendo lafigura geometrica che viene fuori, mi e' venuto subito in mente di cominciare a disegnare segmenti per creare triangoli, ma facendo cosi' impiego ore! Come potrei fare per essere veloce?
Vi ringrazio.
Prima che ti venga data la soluzione completa, ti dò un consiglio per arrivarci da solo.
Traccia il segmento $AC$. Così ottieni due triangoli. Buon lavoro
Traccia il segmento $AC$. Così ottieni due triangoli. Buon lavoro
Ho gia pensato di fare questo, ma non venendo fuori triangoli rettangoli, non potro' utilizzare Pitagora. Sto cercando invano di spezzettare la figura per cercare la via piu' veloce! Ma ancora non riesco ad individuare la giusta via, poi sto lavorando con carta e penna e quindi mi aiuto solo con i calcoli per vedere lunghezze altezze ........
Ma quello che ha scritto giammaria prima non sei in grado di ripeterlo?
Ha scritto la formula per il calcolo dell'area di un triangolo date le coordinate dei 3 vertici.
Ha scritto la formula per il calcolo dell'area di un triangolo date le coordinate dei 3 vertici.
"giammaria":
...L'area di OBC è $1/2 |D|$ essendo
$D=|(x_2-x_1,x_3-x_1),(y_2-y_1,y_3-y_1)|=|(3-0,5-0),(-1-0,1-0)|=3+5=8$...
Perfetto!!!!!
Infatti sono riuscito a risolverlo con la stessa formula che mi ha consigliato giammaria, precisamente con la matrice di Cramer.
Adesso mi chiedo se questa formula funziona sempre, mi spiego.....
Pitagora funziona con triangoli rettangoli, quindi e' una limitazione per altri triangoli, ma la formula $ S=1/2|D| $ , funziona per qualsiasi triangolo?
Vi ringrazio.
Infatti sono riuscito a risolverlo con la stessa formula che mi ha consigliato giammaria, precisamente con la matrice di Cramer.
Adesso mi chiedo se questa formula funziona sempre, mi spiego.....
Pitagora funziona con triangoli rettangoli, quindi e' una limitazione per altri triangoli, ma la formula $ S=1/2|D| $ , funziona per qualsiasi triangolo?
Vi ringrazio.
Sì, funziona per qualsiasi triangolo. Non tutti i libri riportano quella formula, ma proprio tu l'avevi postata dieci o venti giorni fa chiedendo spiegazioni; alla fine avevi detto di aver capito. Già in quell'occasione ti ho detto che, salvo miei errori, non si chiama matrice di Cramer ma determinante; i determinanti sono usati anche nella soluzione dei sistemi col metodo di Cramer che però è tutt'altra cosa.
Si, adesso ricordo perfettamente, solo che non ho pensato di risolverla in quel modo, perche' il testo mi proponeva piu' che altro passaggi laboriosi come nel primo esercizio, ed io con la mia poca esperienza nella materia, ho trascurato quella formula e quindi un metodo rapido! Hai ragione, ho dimenticato che si chiama determinante, scusami se ti ho fatto ripetere lo stesso concetto, ma la mia testolina ogni tanto va in palla perche' tra lavoro e libri, ........
Ti ringrazio!
ogni tanto va in palla perche' tra lavoro e libri, ........ Ti ringrazio!
Non preoccuparti, capita a tutti. E comunque i latini dicevano "repetita iuvant", cioè "le cose ripetute aiutano".
Quanto al non aver pensato a quel metodo, non l'hanno fatto in molti, dall'autore del tuo libro a quelli che ti hanno dato suggerimenti vari; non è certo cosa di cui vergognarti.
Quanto al non aver pensato a quel metodo, non l'hanno fatto in molti, dall'autore del tuo libro a quelli che ti hanno dato suggerimenti vari; non è certo cosa di cui vergognarti.
"giammaria":
Non preoccuparti, capita a tutti. E comunque i latini dicevano "repetita iuvant", cioè "le cose ripetute aiutano".
Quanto al non aver pensato a quel metodo, non l'hanno fatto in molti, dall'autore del tuo libro a quelli che ti hanno dato suggerimenti vari; non è certo cosa di cui vergognarti.
Ok, ti ringrazio
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