Bloccato ai punti di flesso

[jarrod]

Ciao, la funzione $f(x) = -x^7 + \alphax^3$ ha tre 3 punti di flesso:
-per nessun a che appartiene ad $RR$
- per $\alpha >= 0$
- per $\alpha > 0$
- per $\alpha < 0$
?

Io ho calcolato la derivata seconda e mi viene $ -42x^5 + 6\alpha x $
La derivata seconda deve fare zero.
E in questo punto mi sono bloccato, qualcuno mi da una mano?

[mgrau]

Ci provo, un po' da profano...

La derivata seconda = 0 porta a
$ -7x^5 + \alpha x = 0 => x( x^4 - alpha/7) = 0$
Già abbiamo uno zero (per x = 0) per ogni $alpha$
Per $alpha = 0$ abbiamo $x^5 = 0 => x = 0$, e abbiamo ancora un solo zero.
Se $alpha < 0$ l'espressione $ x^4 - alpha/7$ non si azzera mai, allora prendiamo $alpha > 0$ e poniamo $beta = sqrt(alpha/7)$
Possiamo scrivere $ x^4 - alpha/7 = (x^2 - beta)(x^2 + beta)$
Il secondo fattore non ha zeri, il primo ne ha due. Allora per $alpha > 0$ abbiamo 3 zeri, come si voleva.

[StellaMartensitica]

Metodo leggermente diverso, cioè:
$ f''(x)=-42x^5+6alpha x=-6x*(7x^4-alpha) $
poi pongo la derivata seconda pari a zero:
$ -6x*(7x^4-alpha)=0 $
Per la legge di annullamento del prodotto questa è zero per:
$ -6x=0 vv (7x^4-alpha )=0 $
Ne segue che abbiamo in ogni caso un flesso nell'origine.
e poi per
$ x=±(alpha /7)^(1/4) $
Quindi la condizione da porre ad $ alpha $ è $ alpha >0 $
(esistenza del radicale e tenendo conto che per $ alpha =0 $ vi sarebbe solo il punto di flesso nell'origine).
Saluti.

[jarrod]

Essendoci un punto di flesso nell'origine e quindi $\alpha$ uguale a zero, quindi non sarebbe $\alpha >= 0$ ?

[mgrau]

No. Se $alpha = 0$ c'è un flesso solo, nell'origine (e qui non è $alpha$ che è zero, ma $x$)

[jarrod]

ah okay, ora ho capito, grazie mille!!