Binomio di Newton, Triangolo di Tartaglia e potenze di 11
Buonasera.
Non riesco bene a capire la relazione che c'è tra il coefficiente binomiale, il Binomio di Newton, il Triangolo di Tartaglia e le potenze di 11.
La formula del Binomio di Newton è la seguente:
In particolare, il coefficiente binomiale è
Il coefficiente binomiale rappresenta quindi le combinazioni di
Il coefficiente binomiale, dal quale si ricavano tutti i coefficienti per una fissata potenza di binomio, ha una relazione con le righe e le colonne del triangolo di Tartaglia. Infatti nella n+1-esima riga del Triangolo di Tartaglia si trovano i coefficienti della potenza n-esima del binomio, che letti insieme formano le potenze di 11.
Ma per quale motivo si verifica ciò? Qual'è l'anello che collega tutto? Ho compreso tutti i concetti precedentemente citati, ma non riesco a collegarli insieme. Qualcuno potrebbe gentilmente darmi qualche delucidazione, cioè dirmi il motivo?
Mi domando:
1) Perché il coefficiente binomiale fornisce i coefficienti dei termini di un binomio? Perché proprio una combinazione?
2) Quale relazione c'è tra il binomio di Newton e il Triangolo di Tartaglia?
3) E che dire delle potenze di 11...?
P.S: Ma Tartaglia ha disegnato il triangolo con cognizione di causa? Nel senso: sapeva che c'erano delle connessioni con i binomi o lo ha creato solo per passatempo e solo i posteri (Newton & Company) han scoperto tale relazione?
Non riesco bene a capire la relazione che c'è tra il coefficiente binomiale, il Binomio di Newton, il Triangolo di Tartaglia e le potenze di 11.
La formula del Binomio di Newton è la seguente:
[math]\left ( a + b \right )^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}[/math]
In particolare, il coefficiente binomiale è
[math]\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}[/math]
Il coefficiente binomiale rappresenta quindi le combinazioni di
[math]n[/math]
elementi di classe [math]k[/math]
.Il coefficiente binomiale, dal quale si ricavano tutti i coefficienti per una fissata potenza di binomio, ha una relazione con le righe e le colonne del triangolo di Tartaglia. Infatti nella n+1-esima riga del Triangolo di Tartaglia si trovano i coefficienti della potenza n-esima del binomio, che letti insieme formano le potenze di 11.
Ma per quale motivo si verifica ciò? Qual'è l'anello che collega tutto? Ho compreso tutti i concetti precedentemente citati, ma non riesco a collegarli insieme. Qualcuno potrebbe gentilmente darmi qualche delucidazione, cioè dirmi il motivo?
Mi domando:
1) Perché il coefficiente binomiale fornisce i coefficienti dei termini di un binomio? Perché proprio una combinazione?
2) Quale relazione c'è tra il binomio di Newton e il Triangolo di Tartaglia?
3) E che dire delle potenze di 11...?
P.S: Ma Tartaglia ha disegnato il triangolo con cognizione di causa? Nel senso: sapeva che c'erano delle connessioni con i binomi o lo ha creato solo per passatempo e solo i posteri (Newton & Company) han scoperto tale relazione?
Risposte
ciampax:
La soluzione è quella.
Modestamente... 8)
No, scherzo, se non fosse stato per te e BIT5 probabilmente avrai perso qualche giorno per risolverla. :yes
ciampax:
Ho anche capito che il tuo libro è quello di analisi 1 di Bramanti, Pagani, Salsa (i primi due miei cari amici!) :asd
(Uno dei migliori libri di analisi in circolazione in italia)
Esattamente. :yes E' un buon libro, ma per quanto riguarda gli esempi... potrebbe farne di più (melius abundare quam deficere) e anche gli esercizi: dovrebbero essere più numerosi (e con le soluzioni a fondo libro!)
ciampax:
Le battute.... le raccontava Cauchy quando aveva 3 anni! :asd
Te l'ho detto... sono complessato. :asd
Sarò pronipote di Cauchy? Metterò anche questo tizio nel mio albero genealogico...
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