Biettività,invertblità,stett. Monotonia!entr Le12
salve..siamo una 5 liceo scientifico..ci servirebbe un favore..
potreste dirci le relazioni logiche(quindi implicazione,doppi implicazione..etc) che sussistono tra invertibilità di una funzione, biettività,monotonia in senso stretto?bisogna partire dalla doppia implicazione che lega biettività con invertibilità..ma poi?potreste gentilmente inserire delle dimostazioni delle connessioni logiche?
vi ringraziamo anticipatamente sollecitandovi se possibile ad una risposta entro le ore 12(dopo inizia la lezione;) )
potreste dirci le relazioni logiche(quindi implicazione,doppi implicazione..etc) che sussistono tra invertibilità di una funzione, biettività,monotonia in senso stretto?bisogna partire dalla doppia implicazione che lega biettività con invertibilità..ma poi?potreste gentilmente inserire delle dimostazioni delle connessioni logiche?
vi ringraziamo anticipatamente sollecitandovi se possibile ad una risposta entro le ore 12(dopo inizia la lezione;) )
Risposte
non capisco molto bene la domanda...cmq...
un funzione è invertibile che esiste un'altra funzione (l'inversa) che collega univocamente gli elementi del codominio con quelli del dominio...per cui...la prima condizione che deve sussistere nella funzione inversa è che sia appunto una funzione!
conderiamo f e f' la sua inversa. f collega ogni elemento del dominio A con uno solo degli elementi del codominio, cioè ad ogni elemento del dominio A corrisponde uno e uno solo elemento dell'immagine B. (questa è la definizione di funzione)[basta pensare ad una parabola...è una funzione non monotona...]
ora f' deve essere ancora un funzione...quindi...ad ogni elemento di B deve corrispondere uno e un solo elemento di A. poichè devono sussistere entrambe le condizioni...tra A e B non può che esserci una corrispondenza del tipo 1 a 1. quindi f deve essere iniettiva. questo significa che ad ogni elemento del dominio di f corriponde uno e uno slo elementi dell'immagine. qeusta è la monotonia in senso stretto, perchè per ogni x1, x2 €A se x2>x1 => f(x2)>f(x1). questo esclude che per x2>x1 accada che f(x2)=f(x1), che negherebbe la iniettività.
quindi ricapitoliamo quanto detto fin'ora...un f per essere invertibile deve essere iniettiva e quindi monotona strettamente.
discutiamo ora la suriettività...
la suriettività è la condizione che fa si che il dominio di f' sia tutto R...in caso contrario saremmo costretti a definire f' in un intervallo...la suriettività fa si che ad ogni elemento deell'immagine di f corrisponde almeno un elemento del dominio A di f.
questo fa si che f' sia definita per ogni x€B.
eccoti un controesempio prendi la funzione esponenziale...questa è strettamente monotona crescente, ma non è suriettiva, in quanto l'immagine di f è R+...quindi in realtà y=e^x non è invertibile su tutto R, ma solo per R+..infatti la funzione logaritmo è definita solo per x>0. quindi puoi sempre definire l'inversa di una funzione in un sottoinsieme di R, ma un f ammette inversa (con dominio tutto R) solo se è iniettiva e suriettiva ==> biettività!!
qunidi una f è invertibile se è biettiva! (ti ricordo inoltre che graficamente una f inversa si costruisce facendo la simmetria della f rispett alla retta Y=X)
spero di essere stato chiaro
devo scappare
ciao
il vecchio
un funzione è invertibile che esiste un'altra funzione (l'inversa) che collega univocamente gli elementi del codominio con quelli del dominio...per cui...la prima condizione che deve sussistere nella funzione inversa è che sia appunto una funzione!
conderiamo f e f' la sua inversa. f collega ogni elemento del dominio A con uno solo degli elementi del codominio, cioè ad ogni elemento del dominio A corrisponde uno e uno solo elemento dell'immagine B. (questa è la definizione di funzione)[basta pensare ad una parabola...è una funzione non monotona...]
ora f' deve essere ancora un funzione...quindi...ad ogni elemento di B deve corrispondere uno e un solo elemento di A. poichè devono sussistere entrambe le condizioni...tra A e B non può che esserci una corrispondenza del tipo 1 a 1. quindi f deve essere iniettiva. questo significa che ad ogni elemento del dominio di f corriponde uno e uno slo elementi dell'immagine. qeusta è la monotonia in senso stretto, perchè per ogni x1, x2 €A se x2>x1 => f(x2)>f(x1). questo esclude che per x2>x1 accada che f(x2)=f(x1), che negherebbe la iniettività.
quindi ricapitoliamo quanto detto fin'ora...un f per essere invertibile deve essere iniettiva e quindi monotona strettamente.
discutiamo ora la suriettività...
la suriettività è la condizione che fa si che il dominio di f' sia tutto R...in caso contrario saremmo costretti a definire f' in un intervallo...la suriettività fa si che ad ogni elemento deell'immagine di f corrisponde almeno un elemento del dominio A di f.
questo fa si che f' sia definita per ogni x€B.
eccoti un controesempio prendi la funzione esponenziale...questa è strettamente monotona crescente, ma non è suriettiva, in quanto l'immagine di f è R+...quindi in realtà y=e^x non è invertibile su tutto R, ma solo per R+..infatti la funzione logaritmo è definita solo per x>0. quindi puoi sempre definire l'inversa di una funzione in un sottoinsieme di R, ma un f ammette inversa (con dominio tutto R) solo se è iniettiva e suriettiva ==> biettività!!
qunidi una f è invertibile se è biettiva! (ti ricordo inoltre che graficamente una f inversa si costruisce facendo la simmetria della f rispett alla retta Y=X)
spero di essere stato chiaro
devo scappare
ciao
il vecchio
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