Banalità sugli integrali

[HowardRoark]

Potreste aiutarmi a ricordare perché $\int e^(-x) dx = -e^(-x)$? A posteriori so giustificare il risultato ovviamente, ma come avrei potuto calcolare $\int e^(-x)$ sfruttando le proprietà degli integrali?

[moccidentale]

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[HowardRoark]

"sellacollesella":In generale, l'idea è quella di ricondursi a degli integrali elementari che si trovano tabulati: \[
\int e^{-x}\,\text{d}x = \int e^t\left(-\text{d}t\right) = -\int e^t\,\text{d}t = -e^t+c = -e^{-x}+c\,.
\]

Quindi lo hai risolto per sostituzione, ponendo $t=-x$? Io lo stavo provando ad integrare per parti moltiplicando dentro e fuori l'integrale per $(-1)$ ma non ne venivo a capo, avevo sempre $\int e^(-x) dx$ da risolvere.
Comunque il livello di approfondimento richiesto negli integrali da noi è minimo, devo fare un esame per economia e in alcuni corsi la prof non li ha nemmeno inclusi; in particolare questo mi serviva per risolverne un altro per parti.

[moccidentale]

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[Mephlip]

@HowardRoark: Anche senza sostituzione, puoi notare che $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(e^{-x})=-e^{-x}$. Dunque, dato che "le costanti entrano dentro il segno di derivata" (linearità), moltiplicando per $-1$ ambo i membri è $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(-e^{-x})=e^{-x}$. Da quest'ultima uguaglianza è immediato dedurre che $\int e^{-x}\text{d}x=-e^{-x}+c$, con $c\in\mathbb{R}$.

[HowardRoark]

"Mephlip":@HowardRoark: Anche senza sostituzione, puoi notare che $ \frac{\text{d}}{\text{d}x}(e^{-x})=-e^{-x} $. Dunque, dato che "le costanti entrano dentro il segno di derivata" (linearità), moltiplicando per $ -1 $ ambo i membri è $ \frac{\text{d}}{\text{d}x}(-e^{-x})=e^{-x} $. Da quest'ultima uguaglianza è immediato dedurre che $ \int e^{-x}\text{d}x=-e^{-x}+c $, con $ c\in\mathbb{R} $.

"Mephlip":@HowardRoark: Anche senza sostituzione, puoi notare che $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(e^{-x})=-e^{-x}$. Dunque, dato che "le costanti entrano dentro il segno di derivata" (linearità), moltiplicando per $-1$ ambo i membri è $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(-e^{-x})=e^{-x}$. Da quest'ultima uguaglianza è immediato dedurre che $\int e^{-x}\text{d}x=-e^{-x}+c$, con $c\in\mathbb{R}$.

$\inte^(-x)dx = (-1)\int(-1) e^(-x)dx => -1\inte^t dt$, dove $t=-x$ e $dt= -dx$, ho fatto così per ricondurmi al caso di integrazione per sostituzione. Comunque sì è abbastanza immediato risolverlo questo integrale, qualunque metodo si scelga.