Banalissima equazione differenziale

[GiorgioF1]

Cercando di risolvere questa banalissima equazione differenziale mi sono fatto dei gran viaggi per capire di che tipologia è.

Così mi risulta a variabili separabili
$xy'-y=0$
$xy'=y$
$y'=y/x$ (e qui mi vengono anche i dubbi che sia una omogenea)
$y'=1/x*y$
$y'=x^(-1)*y$

in quanto $f(x)= x^-1$ e $g(y)=y$ e queste si moltiplicano tra loro.


Però se la vedo in un altro modo mi sembra una lineare:
$y'=y/x=0$
$y'-1/x*y=0$
$y'-x^(-1)y=0$

in quanto $x^(-1)*y$ è sottratto alla y'

Chiaritemi un po le idee

[giammaria2]

Visto che è a variabili separabili, separale:
$(y')/y=1/x$
$ln y=lnx+ln A$
$y=Ax$

Quanto al resto, nulla vieta che un'equazione possa rientrare contemporaneamente in più categorie; ad esempio, fra quelle goniometriche, $sen x+cos x=0$ è sia lineare che omogenea.

EDIT: in una prima versione avevo fatto un errore enorme; mi scuso con chi lo ha letto.

[GiorgioF1]

sul libro c'è scritto che il risultato deve essere $y=cx$
EDIT: OKKK Grazieee, non capisco però perchè anche c (o A come hai scritto te) deve essere dentro la funzione logaritmo

[giammaria2]

Infatti avevo fatto un errore che ho poi corretto; in un secondo tempo ho aggiunto una frase. Tu ti inserisci fra le mie due modifiche; ora dovrebbe essere tutto a posto.
Per il secondo dubbio: avresti potuto scrivere $ln y=k+lnx->y=e^k x$. Però $e$ elevato ad un numero qualsiasi dà un numero qualsiasi, quindi puoi porre $A=e^k$. In alternativa, puoi ragionare così: devo aggiungere un numero qualsiasi, ma sarebbe comodo avere un logaritmo, quindi scrivo questo numero come logaritmo.

[GiorgioF1]

Ok perfetto! Grazie mille