Asintoto

[pikkola91]

Per quale valore reale di n la funzione

y = [x^(n^2) + 3]/ [nx^2 + 1]

ha un'asintoto obliquo e due verticali?? come potrei iniziare??

[ciampax]

Allora, la funzione è

[math]f(x)=\frac{x^{n^2}+3}{n x^2+1}[/math]

giusto?

[pikkola91]

si la funzione è quella..

[ciampax]

Cominciamo col dire che la funzione è razionale fratta: questo implica che, per avere asintoti verticali, debba avere punti in cui si annulla il denominatore. Ne segue che, volendo 2 asintoti verticali, l'equazione

[math]n x^2+1=0[/math]

deve avere 2 soluzioni. Essendo

[math]x=\pm\sqrt{-\frac{1}{n}}[/math]

le radici, affinché esse sistano deve essere [math]n

[jennyv]

ciao, scusate se mi intrometto nella discussione. stavo guardando l'esercizio non ho capito questo passaggio
" usando il fatto che all'infinito prevalgono solo le potenze più grandi

[math]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{n^2}}{nx^3}=\frac{1}{n}\lim_{x\rightarrow\infty} x^{n^2-3}[/math]

"
perchè bisogna scrivere

[math]n^2-3[/math]

? grazie mille.

(scusate, non riesco a scrivere in latex..in pratica non ho capito il passaggio in cui ciampax dice che usando il fatto che all'infinito prevalgono solo le potenze + grandi, si scrive

[math]\lim_{x\right \infty} x ^ {n^2-3}[/math]

).

[the.track]

(Te l'ho sistemato. :) ) Scusate l'intrusione. Bastava che racchiudessi il codice nei tags:

[math][/math]

:)

[pikkola91]

non ho capito perchè all'infinito prevalgono solo le potenze più grandi
?? in quel caso al numeratore vi è x^(n^2)/x^3 quindi l'infinito più grande non dovrebbe essere al denominatore quindi risultare 0 il limite? non ho capito perchè risulta 1/n.. perchè quando ci sono due x dello stesso grado si fa il rapporto tra i coefficenti e in questo caso non si sa quanto è il numeratore?

[ciampax]

Allora: quando si calcola il limite per x che tende all'infinito di un polinomio, quello che va considerata è sempre la potenza più grande presente nel polinomio stesso. Infatti, all'infinito, il quadrato cresce più della x, il cubo più del quadrato, ecc ecc...

Quando si lavora con le frazioni, allora, basta considerare a numeratore e denominatore le potenze più grandi e calcolare il rapporto di tali potenze. Quindi, come dicevo nell'esercizio, basta calcolare il rapporto tra

[math]x^{n^2}[/math]

e

[math]nx^3[/math]

che vale, utilizzando la regola per le potenze per cui

[math]x^a : x^b=x^{a-b}[/math]

[math]\frac{x^{n^2}}{n x^3}=\frac{1}{n}\cdot x^{n^2-3}[/math]

Ora, quello che si ha ad esponente varia al variare di n: se è positivo allora hai infinito elevato ad un numero positivo che fa infinito. Se è negativo, hai infinito elevato ad un numero negativo che fa 0. Infine, se l'esponente è uguale a zero, la x non è più presente, e quindi il limite è uguale al valore

[math]1/n[/math]

.