Asintoti $y=x(4log_4 x)/(2log_4 x -1)$ con immagine GRAFICO!
devo calcolare gli asintoti della funzione $y=x(4log_4 x)/(2log_4 x -1)$
quindi ecco i vari passaggi
$ C.E. x!= +-2 ^^ x>0 $
quindi calcolo $\lim_{x \to \2} x(4log_4 x)/(2log_4 x -1)$$=oo$ quindi è presente l'asintoto verticale $x=2$
e fin quì tutto bene, poi verifico le condizioni per l'esistenza di asintoti obliqui o orizzontali
a) $\lim_{x \to \oo} f(x)$ $=oo$ che risulta verificata poichè (calcolando solo per $+oo$ dato che il CE impone che sia $x>0$) $\lim_{x \to \+oo} x(4log_4 x)/(2log_4 x -1)$ $=+oo$ (quindi non esiste asintoto orizzontale)
b) $\lim_{x \to \oo} f(x)/x$ $=m$ con $m!=0$ e risulta verificato poichè $\lim_{x \to \+oo} (4log_4 x)/(2log_4 x -1)$ = $\lim_{x \to \+oo} ((log_4 x)(4))/(log_4 x( 2-1/(log_4 x)))$ = $\lim_{x \to \+oo} (4)/( 2-1/(log_4 x))$ e poichè $\lim_{x \to \+oo} 1/(log_4 x)$ $=0$ si ha che $\lim_{x \to \+oo} (4)/( 2-1/(log_4 x))$ $=2$ quindi il coefficiente angolare della retta asintoto obliquo sarebbe $m=2$, resta da verificare l'ultima condizione
c) $\lim_{x \to \+oo} [f(x)-mx]$ $=q$ , quindi
$\lim_{x \to \+oo} x(4log_4 x)/(2log_4 x -1) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} x((log_4 x)(4))/(log_4 x( 2-1/(log_4 x))) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} x(4)/( 2-1/(log_4 x)) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} x(4)/( 2-1/(log_4 x)) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} x(4)/( 2-1/(log_4 x)) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} 2x -2x$ quindi
$\lim_{x \to \+oo} x(4log_4 x)/(2log_4 x -1) -2x =0$
quindi l'asintoto obliquo per la funzione dovrebbe essere $y=2x$ ma sia il risultato del libro sia graficamente (con microsoft mathematics) non risulta vero, e vorrei capire il perchè....
ecco come dovrebbe essere il grafico della funzione:
- in blu c'è la funzione $y=x(4log_4 x)/(2log_4 x -1)$
- in verde la retta $y=2x$ che mi vien fuori calcolando l'asintoto obliquo
- in viola l'asintoto verticale $x=2$
quindi ecco i vari passaggi
$ C.E. x!= +-2 ^^ x>0 $
quindi calcolo $\lim_{x \to \2} x(4log_4 x)/(2log_4 x -1)$$=oo$ quindi è presente l'asintoto verticale $x=2$
e fin quì tutto bene, poi verifico le condizioni per l'esistenza di asintoti obliqui o orizzontali
a) $\lim_{x \to \oo} f(x)$ $=oo$ che risulta verificata poichè (calcolando solo per $+oo$ dato che il CE impone che sia $x>0$) $\lim_{x \to \+oo} x(4log_4 x)/(2log_4 x -1)$ $=+oo$ (quindi non esiste asintoto orizzontale)
b) $\lim_{x \to \oo} f(x)/x$ $=m$ con $m!=0$ e risulta verificato poichè $\lim_{x \to \+oo} (4log_4 x)/(2log_4 x -1)$ = $\lim_{x \to \+oo} ((log_4 x)(4))/(log_4 x( 2-1/(log_4 x)))$ = $\lim_{x \to \+oo} (4)/( 2-1/(log_4 x))$ e poichè $\lim_{x \to \+oo} 1/(log_4 x)$ $=0$ si ha che $\lim_{x \to \+oo} (4)/( 2-1/(log_4 x))$ $=2$ quindi il coefficiente angolare della retta asintoto obliquo sarebbe $m=2$, resta da verificare l'ultima condizione
c) $\lim_{x \to \+oo} [f(x)-mx]$ $=q$ , quindi
$\lim_{x \to \+oo} x(4log_4 x)/(2log_4 x -1) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} x((log_4 x)(4))/(log_4 x( 2-1/(log_4 x))) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} x(4)/( 2-1/(log_4 x)) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} x(4)/( 2-1/(log_4 x)) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} x(4)/( 2-1/(log_4 x)) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} 2x -2x$ quindi
$\lim_{x \to \+oo} x(4log_4 x)/(2log_4 x -1) -2x =0$
quindi l'asintoto obliquo per la funzione dovrebbe essere $y=2x$ ma sia il risultato del libro sia graficamente (con microsoft mathematics) non risulta vero, e vorrei capire il perchè....
ecco come dovrebbe essere il grafico della funzione:
- in blu c'è la funzione $y=x(4log_4 x)/(2log_4 x -1)$
- in verde la retta $y=2x$ che mi vien fuori calcolando l'asintoto obliquo
- in viola l'asintoto verticale $x=2$
Risposte
per me non esiste asintoto per $x\rightarrow+\infty$
perchè arrivato qui
raccogli la $x$ e poi l'm.c.m.
$\lim_{x\rightarrow+\infty} x((4\log_4 x)/(2\log_4 x+1)-2)=\lim_{x\rightarrow+\infty} x((4\log_4 x-4\log_4 x-2)/(2\log_4 x+1))=\lim_{x\rightarrow+\infty} x((-2)/(2\log_4 x+1))=-\infty$
viene $-\infty$, perchè lascia perdere cos'hai a denominatore, ora stai facendo un confronto di infiti, e siccome al numeratore hai una retta, vince sempre con un logaritmo! quindi il limite tende a $-\infty$
non esiste asintoto obliquo per $x\rightarrow+\infty$
perchè arrivato qui
"93felipe":
c) $\lim_{x \to \+oo} [f(x)-mx]$ $=q$ , quindi
$\lim_{x \to \+oo} x(4log_4 x)/(2log_4 x +1) -2x$ =
..
raccogli la $x$ e poi l'm.c.m.
$\lim_{x\rightarrow+\infty} x((4\log_4 x)/(2\log_4 x+1)-2)=\lim_{x\rightarrow+\infty} x((4\log_4 x-4\log_4 x-2)/(2\log_4 x+1))=\lim_{x\rightarrow+\infty} x((-2)/(2\log_4 x+1))=-\infty$
viene $-\infty$, perchè lascia perdere cos'hai a denominatore, ora stai facendo un confronto di infiti, e siccome al numeratore hai una retta, vince sempre con un logaritmo! quindi il limite tende a $-\infty$
non esiste asintoto obliquo per $x\rightarrow+\infty$
Attento però al CE e quindi all'asintoto verticale.
$2log_4 x+1!=0=>log_4 x!=-1/2=>x!=4^(-1/2)=>x!=1/(4^(1/2))=>x!=1/2$
$2log_4 x+1!=0=>log_4 x!=-1/2=>x!=4^(-1/2)=>x!=1/(4^(1/2))=>x!=1/2$
"giammaria":
Attento però al CE e quindi all'asintoto verticale.
$2log_4 x+1!=0=>log_4 x!=-1/2=>x!=4^(-1/2)=>x!=1/(4^(1/2))=>x!=1/2$
ho riscritto nuovamente la funzione, erroneamente avevo messo il numero $1$ al denominatore con il segno $+$ quindi alche il calcolo sottoelecato sarebbe errato per la funzione $y= x(4log_4 x)/(2log_4 x -1)$
"21zuclo":
per me non esiste asintoto per $x\rightarrow+\infty$
perchè arrivato qui
[quote="93felipe"]c) $\lim_{x \to \+oo} [f(x)-mx]$ $=q$ , quindi
$\lim_{x \to \+oo} x(4log_4 x)/(2log_4 x +1) -2x$ =
..
raccogli la $x$ e poi l'm.c.m.
$\lim_{x\rightarrow+\infty} x((4\log_4 x)/(2\log_4 x+1)-2)=\lim_{x\rightarrow+\infty} x((4\log_4 x-4\log_4 x-2)/(2\log_4 x+1))=\lim_{x\rightarrow+\infty} x((-2)/(2\log_4 x+1))=-\infty$
viene $-\infty$, perchè lascia perdere cos'hai a denominatore, ora stai facendo un confronto di infiti, e siccome al numeratore hai una retta, vince sempre con un logaritmo! quindi il limite tende a $-\infty$
non esiste asintoto obliquo per $x\rightarrow+\infty$[/quote]
ma il mio metodo per il calcolo di $\lim_{x \to \+oo} x(4log_4 x)/(x(2log_4 x -1)) $ è sbagliato? è possibile che risolvendo con un metodo si ottenga un risultato e risolvendo con un altro metodo se ne ottenga un altro? non c'è una regola generale.... mi sono perso!!!
Ciao 93felipe.
Secondo me ha ragione 21zuclo, non c'è asintoto obliquo perchè il limite che dovrebbe fornire $q$ è $oo$, benchè il grafico possa lasciare qualche perplessità, ma con le funzioni logaritmiche bisogna stare attenti a non farsi fregare perchè il modo in cui tendono ad $oo$ è "lentissimo". Del resto, se due procedure differenti portano a diverse soluzioni dello stesso problema, è fuori dubbio che almeno una delle due sia sbagliata.
Sbagli qua:
il limite a primo membro è un'indeterminazione in quanto il termine che moltiplica la prima delle due $x$ tende a $2$, il che è diverso da dire, come fai a secondo membro, che vale $2$.
Per fare un esempio banale di come ragionando in questo modo si vada fuori strada, prendi il :[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x\left ( 1+\frac{1}{x} \right )-x \right ][/tex]; facendo come hai fatto, si troverebbe:
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x\left ( 1+\frac{1}{x} \right )-x \right ]=
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( x\cdot 1 -x\right )=0[/tex];
rimuovendo invece correttamente l'indeterminazione si trova:
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x\left ( 1+\frac{1}{x} \right )-x \right ]
=\lim_{x\rightarrow +\infty }(x+1-x)=1[/tex]
Secondo me ha ragione 21zuclo, non c'è asintoto obliquo perchè il limite che dovrebbe fornire $q$ è $oo$, benchè il grafico possa lasciare qualche perplessità, ma con le funzioni logaritmiche bisogna stare attenti a non farsi fregare perchè il modo in cui tendono ad $oo$ è "lentissimo". Del resto, se due procedure differenti portano a diverse soluzioni dello stesso problema, è fuori dubbio che almeno una delle due sia sbagliata.
Sbagli qua:
$\lim_{x \to \+oo} x(4)/( 2-1/(log_4 x)) -2x$ = $\lim_{x \to \+oo} 2x -2x$
il limite a primo membro è un'indeterminazione in quanto il termine che moltiplica la prima delle due $x$ tende a $2$, il che è diverso da dire, come fai a secondo membro, che vale $2$.
Per fare un esempio banale di come ragionando in questo modo si vada fuori strada, prendi il :[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x\left ( 1+\frac{1}{x} \right )-x \right ][/tex]; facendo come hai fatto, si troverebbe:
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x\left ( 1+\frac{1}{x} \right )-x \right ]=
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( x\cdot 1 -x\right )=0[/tex];
rimuovendo invece correttamente l'indeterminazione si trova:
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x\left ( 1+\frac{1}{x} \right )-x \right ]
=\lim_{x\rightarrow +\infty }(x+1-x)=1[/tex]
un altro esempio che ti posso dire è il seguente
devi calcolare questo limite $\lim_{x\rightarrow+\infty} sqrt(x+1)-sqrt(x)$
metodo errato $\lim_{x\rightarrow+\infty} sqrt(x)(sqrt(1+1/x)-1)=\lim_{x\rightarrow+\infty} sqrt(x)(1-1)= +\infty$
facendo così non hai eliminato l'indecisione, prima avevi $+\infty \cdot -infty$, mentre ora ti sei riportato ad avere un $+\infty \cdot 0$
metodo esatto razionalizzi
$\lim_{x\rightarrow +\infty} (sqrt(x+1)-sqrt(x)\cdot (sqrt(x+1)+sqrt(x))/(sqrt(x+1)+sqrt(x)))=\lim_{x\rightarrow+\infty}(x+1-x)/(sqrt(x)((sqrt(1+1/x))+1))=\lim_{x\rightarrow+\infty}(1)/(2\cdot sqrt(x))=0$
devi calcolare questo limite $\lim_{x\rightarrow+\infty} sqrt(x+1)-sqrt(x)$
metodo errato $\lim_{x\rightarrow+\infty} sqrt(x)(sqrt(1+1/x)-1)=\lim_{x\rightarrow+\infty} sqrt(x)(1-1)= +\infty$
facendo così non hai eliminato l'indecisione, prima avevi $+\infty \cdot -infty$, mentre ora ti sei riportato ad avere un $+\infty \cdot 0$
metodo esatto razionalizzi
$\lim_{x\rightarrow +\infty} (sqrt(x+1)-sqrt(x)\cdot (sqrt(x+1)+sqrt(x))/(sqrt(x+1)+sqrt(x)))=\lim_{x\rightarrow+\infty}(x+1-x)/(sqrt(x)((sqrt(1+1/x))+1))=\lim_{x\rightarrow+\infty}(1)/(2\cdot sqrt(x))=0$
ma allora scusatemi, il metodo esatto qual' è per il calcolo dei limiti? cioè non esiste una regola? pur analizzando caso per caso potrebbe essere possibila risolvere con metodi differenti, ma a questo punto il metodo giusto qual'è?
usare taylor,ciao
che significa usa taylor?
tu che sei ancora alle superiori lascia perdere Taylor, sono degli sviluppi.. lasciali perdere se sei ancora alle superiori!.. usa i limiti notevoli e robe varie che ti hanno insegnato a scuola..
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