Asintoti orizzontali

KatieP
Calcola gli asintoti orizzontali della funzione y= x*(lnx -1)/ (x^2 -4)
E' possibile trovarli senza usare il teorema di de l'Hopital , usando semplicemente la gerarchia degli infiniti?

Risposte
mazzarri1
se intendo bene la tua funzione dovrebbe essere

$ y = ( x ln x - x )/ (x^2 - 4) $

è così??

In tal caso come asintoto orizzontale puoi valutare soltanto il comportamento della funzione a + infinito dato che il dominio prevede le x positive (per via del logaritmo) eccetto il punto x=2 (per via del denominatore)

Questo limite effettivamente lo valuti a vista senza scomodare L'Hopital che essendo stato un marchese potrebbe spazientirsi a esser tirato in ballo... vedi che il denominatore si comporta come $x^2$ mentre il numeratore va a infinito molto più lentamente perchè si comporta come $x lnx$..
il risultato è che il limite per x tendente a + infinito della funzione è nullo e l'asse delle x (y=0) è asintoto orizzontale destro.

KatieP
Il numeratore va a zero più velocemente perché è un logaritmo moltiplicato per una x di grado inferiore? Io so che il logaritmo tende a zero più velocemente di una qualsiasi potenza, ma come faccio ad essere certa che vale lo stesso se il logaritmo è moltiplicato a sua volta per una potenza ?
E poi, è possibile dimostrare per questa funzione che x= 0 è asintoto verticale? Ottengo la formula indeterminata 0* infinito e non riesco ad uscirne :/

mazzarri1
No Nereide, è il contrario
Il logaritmo non tende affatto a zero più velocemente di una potenza, il logaritmo non tende proprio a zero
E' da dire che il logaritmo tende a INFINITO più LENTAMENTE di una qualsiasi potenza, lo vedi dal suo grafico confrontato con una potenza qualsiasi...
Quindi al numeraore hai $ x (lnx -1) $ mentre al denominatore hai $x^2$ ... non c'è storia il rapporto va a zero perchè è un infinito diviso per un infinito al quadrato!!! se hai dubbi prova con una calcolatrice (orrore!!!) e metti per esempio x=10000 e prova a fare i conti ti accorgi di quanto viene il NUM e di quanto viene il DEN
Detto questo attenzione a che cosa scrivi nel tuo ultimo post... "Ottengo la formula indeterminata 0* infinito e non riesco ad uscirne" ATTENZIONE che "zero X infinito" non è una forma indeterminata... fa zero e basta!! :) :) quindi l'asse delle ordinate non è un asintoto verticale, la funzione in zero tende a zero...
Inoltre ho calcolato per curiosità la derivata prima in x tendente a zero+ e ho ottenuto +infinito... quindi la funzione in zero+ tende al valore di zero con una tangente verticale, tipo mezzo ramo di cuspide per intenderci

giammaria2
"mazzarri":
"Ottengo la formula indeterminata 0* infinito e non riesco ad uscirne" ATTENZIONE che "zero X infinito" non è una forma indeterminata... fa zero e basta!! :) :)

A tutti può capitare un momento di distrazione, ma non vorrei che questo forum fosse accusato di diffondere gli errori. Il calcolo $0*oo$ è una forma indeterminata; non lo sono invece $0/oo=0$ e $oo/0=oo$.

Quanto al problema di Nereide, le consiglio di cominciare col dividere numeratore e denominatore per $x$: ottiene
$lim_(x->+oo)(logx-1)/(x-4/x)$
ed ora può applicare il fatto che il logaritmo tende ad infinito più lentamente delle potenze.

mazzarri1
chiedo venia Gianmaria
Ho sempre pensato che zero per infinito facesse zero e non mi sono mai soffermato a pensarla come forma indeterminata poichè zero moltiplicato qualunque numero fa zero
Ma evidentemente mi sbagliavo! Ancora scuse!

axpgn
Se fosse zero sarebbe vero, ma non è mai zero ... ;-)
La scrittura $0*infty$ trae in inganno perché sembra una formula ma è solo una "sigla" per rappresentare velocemente ed efficacemente una tipologia di limiti.
Quello zero non è quantità nulla ma un'espressione che "tende" a zero ma che non lo raggiungerà mai ...

Cordialmente, Alex

KatieP
Grazie mille a tutti!

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.