Asintoti

[balnazzar]

1. E' possibile calcolare quante volte una funzione interseca un asintoto, e in quali punti?

2. Mettiamo di avere una funzione definita su tutto R.

Il limite a +oo tende a un valore finito, quello a -00 e' infinito. Sara' possibile avere un asintoto obliquo sul lato sinistro?


Grazie.

[alberto.cena]

1. In generale, se hai una funzione $y=f(x)$ che ha un asintoto orizzontale di equazione $y = k$, puoi determinare le intersezioni risolvendo l'equazione $f(x) = k$, se l'asintoto è obliquo di equazione $y=mx +q$, puoi risolvere l'equazione $f(x)=mx+q$.
Studiando una funzione, potresti essere in grado di determinare il numero delle intersezioni facendo opportune considerazioni. Se, ad esempio, una funzione continua su $\bb R$ ha un asintoto orizzontale $y=k$ per $x \to +\infty$ ed è monotona sull'intervallo illimitato $(x_0, + \infty)$, il grafico non interseca l'asintoto per valori $x \in (x_0, \infty)$. Confrontando con $k$ i valori assunti dalla funzione negli estramanti in $ (-\infty, x_0)$ ricaveresti il numero delle intersezioni. Ad esempio, se hai due estremanti successivi $x_1$ e $x_2$. Se $x_1$ è un minimo locale con $f(x_1)k$, allora esiste un unico punto di intersezione con ascissa compresa tra $x_1$ e $x_2$

2. Ti propongo la funzione $y=\sqrt{x^2+1}-x$.

[zorn801]

Bella domanda. Si può avvolgere attorno all'asintoto tutte le volte che si vuole. Pensa alla funzione $sin x / x$ per $x -> oo$, effettua una rotazione di 45 gradi e poni valore della funzione 0 se $x>=0$ e avrai una funzione come dici tu.

[balnazzar]

Molto chiaro. Grazie,