Aritmetica

[ruk1]

Aiuto devo dimostrare che:

il prodotto di due variabili positive x e y aventi somma costante è massimo quando x = y

[JvloIvk]

E' un caso particolare della cosidetta disuguaglianza tra media geometrica e aritmetica
(x+y)^2-4xy=(x-y)^2>=0 [1]
da cui
(x+y)^2>=4xy
ovvero
xy=<(x+y)^2/4 [2]
Per massimizzare xy occorre che valga l'uguaglianza(il caso limite).
Dalla [1] si nota che l'uguaglianza vale per x=y valore per cui si annulla (x-y)^2

[eafkuor1]

io ho fatto cosi':

abbiamo che x+y=costante

supponiamo che x quindi y-x=k

poniamo m=(x+y)/2

quindi avremo

x*y=(m-(k/2))*(m+(k/2))=m^2-(k^(2)/4)

nel caso in cui x=y avremo che m=x=y quindi

x*y=x^2=y^2=m^2>m^2-(k^(2)/4)

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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen

[JvloIvk]

quote:

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Originally posted by eafkuor

io ho fatto cosi':

abbiamo che x+y=costante

supponiamo che x quindi y-x=k

poniamo m=(x+y)/2

quindi avremo

x*y=(m-(k/2))*(m+(k/2))=m^2-(k^(2)/4)

nel caso in cui x=y avremo che m=x=y quindi

x*y=x^2=y^2=m^2>m^2-(k^(2)/4)

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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen

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Non è che voglia rompere le uova sul paniere
ma la tua soluzione è sbagliata...
Il primo errore è considerare y>x quando
per non perdere generalità bisognerebbe porre
y>=x.
Posto y>=x si può porre y-x=k dove k è un
numero reale positivo.
Nell'ultimo passagio ponendo
x=y,che avevi precedentemente
escluso,ti sei posto in un caso particolare indebolendo
la tesi...
Inoltre ti faccio notare che m^2-(k^(2)/4)=xy quindi
non hai concluso nulla

[eafkuor1]

quote:

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Originally posted by JvloIvk

m^2-(k^(2)/4)=xy

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ma solo nel caso in cui x e' diverso da y
nel caso in cui x=y il prodotto e' m^2
nel caso in cui sono diversi il prodotto e' m^2-(k^(2)/4)

non mi sembra che sia niente di sbagliato, forse dovresti spiegarti meglio

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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen

[JvloIvk]

quote:

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Originally posted by eafkuor

quote:

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Originally posted by JvloIvk

m^2-(k^(2)/4)=xy

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ma solo nel caso in cui x e' diverso da y
nel caso in cui x=y il prodotto e' m^2
nel caso in cui sono diversi il prodotto e' m^2-(k^(2)/4)

non mi sembra che sia niente di sbagliato, forse dovresti spiegarti meglio

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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen

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Anche nel caso in cui x=y...Poi se k è nullo in questo caso è un altro discorso...
Ciò significa che x*y>m^2-(k^(2)/4) è ovviamente sbagliato.
Ora la soluzione va bene

[asdf4]

Se hai x y=c-x e poi si tratta di cercare la derivata di x(c-x) e verificare che x=c/2 costituisce un estremante ( massimo). E' abbastanza fattibile.
A volerlo puoi anche utilizzare i moltiplicatori di Lagrange per massimizzare la funzione f(x,y)=xy sul vincolo x+y-c=0 ma è come usare il cannone per seccare una mosca [:D]...
Se qualcuno ha voglia, è istruttivo e divertente,soprattutto a quest'ora della mattina!
Ciao!


Marco

[david_e1]

Da quando ho finito le superiori si fanno molte cose in piu'

I moltiplicatori di Lagrange per un esercizio del Liceo?

[asdf4]

Potrebbe essere curioso vedere come reagisce il prof... Tra parentesi, non ci ho mai provato! [:D]

Marco