Aree con integrali

[Ley68]

mi aiutereste con questo problema?

traccia il grafico della funzione y= $ e^-x+1 $ e quello simmetrico rispetto al suo asintoto orizzontale. calcola l'area delimitata nel primo quadrante dai due grafici e dalla retta di eq. x=1

per quanto riguarda il grafico sono riuscita a farlo, mentre l'area no, non ho idea di quale sia poi la formula del grafico simmetrico, sono un po' in crisi, spero in un vostro aiuto

[anto_zoolander]

Ciao

allora intanto abbiamo la curva $f(x)=e^-x+1$

ora dobbiamo applicare la simmetria rispetto ad una retta, più precisamente la simmetria si applica alle ordinate.
Quindi essendo in generale un punto della curva

$P(x,e^(-x)+1)$ vogliamo che la retta che ha come punti generici $(x,1)$ sia asse di simmetria.
come si considera questa simmetria?
dobbiamo imporre che $y=1$ sia il punto medio tra un punto generico della curva $f(x)$ e quello della curva che cerchiamo $g(x)$
ricorda che il punto medio è dato dalla semi-somma delle lunghezze $(a+b)/2= P_m <=> a=2P_m-b$ naturalmente si avrebbe ad esempio $y'=2P_m-y$
Detto questo, scrivo il sistema già pronto:

\begin{equation}
\begin{cases}
x'=x\\y'=2-y
\end{cases}
\end{equation}

quindi sostituendo ottieni $y'=2-(e^(-x')+1) => g(x)=1-e^(-x)$
che è la curva simmetrica a $f(x)$

adesso ci chiede di calcolare l'integrale definito tra $1$(poiché sappiamo che la retta $x=1$ è limitante a sinistra) e $+infty$ dell'area compresa tra le due curve.

intanto notiamo $e^(-x)+1> -e^(-x)+1 <=> 2e^(-x)>0$ sempre soddisfatta, quindi $f(x)>g(x) forallx inRR$
in particolare $int_{1}^{+infty}f(x)dx>int_{1}^{+infty}g(x)dx$
calcoliamo quindi l'area tra le curve, che sarà la differenza delle rispettive aree.

$int_{1}^{+infty}f(x)dx-int_{1}^{+infty}g(x)dx$

calcolo dell'integrale: sarebbe meglio se prima ci provassi solo/a, e usare lo spoiler in caso di bisogno.

$int_{1}^{+infty}[f(x)-g(x)]dx$

$int_{1}^{+infty}[(e^(-x)+1)+(e^(-x)-1)]dx$

$int_{1}^{+infty}[2e^(-x)]dx$

$lim_(M->+infty)-2int_{1}^{M}[-e^(-x)]dx$

$lim_(M->+infty)-2[e^(-x)]_{1}^{M}$

$lim_(M->+infty)-2[e^(-M)-e^(-1)]=-2[0-e^(-1)]$

quindi infine

$int_{1}^{+infty}(e^(-x)+1)dx-int_{1}^{+infty}(1-e^(-x))dx=2/e$

quindi l'area racchiusa in quella parte di piano è $A=2/e$

[volaff1]

Ma che senso ha risolvere l'esercizio senza che lei ci "
metta mano"?

[anto_zoolander]

Penso che aiutarne a fare uno, possa essere un input per schiarire le idee per i prossimi.
Non sarà di certo l'ultimo esercizio di questo tipo che vedrà. Naturalmente sta a lei/lui essere coscienziosa/o.
Anche perché se 'non ha idea di come si faccia', lanciarle/gli molliche non servirà a nulla, tanto vale fare una buona azione, che non mi costa nulla.

Naturalmente nessuno toglie che io possa sbagliare