Area tra parabola segmento

[driver_458]

Tra tutte le parabole passanti per l'origine O di un sistema di assi cartesiani e aventi il vertice V, nel quarto quadrante, sulla retta y=x-8, determinare quella per cui è massima l'area delimitata dalla parabola stessa e dal segmento OV.

considerata una parabola $y=ax^2+bx$ sostituisco le coordinate del vertice in $y=x8$ e mi trovo $b=1-sqrt(1+32a)$ poi mi calcolo il coefficiente angolare di VO in funzione di a, ma poi nn so andare avanti.

Non c'è un modo più veloce per risolvere il problema?

[driver_458]

$y=x-8$ c'è un errore

il risultato finale è $y=1/4x^2-2x$ e l'area massima misura $8/5$

[Seneca1]

Il vertice sarà una cosa del tipo $V (x_V , x_V - 8 )$

Fissato il vertice (fissato il parametro $x_V$) hai automaticamente una parabola. Per calcolare l'area del segmento parabolico basta calcolare l'area del rettangolo circoscritto:

$Area_r = - 2 x_V * (x_V - 8)$

Dove $2 x_V$ è la misura della base del rettangolo e $|x_V - 8|$ è l'altezza.

EDIT: Ho letto male il testo. L'area che ti serve è un'altra. Tra qualche minuto correggo.

[Seneca1]

Io ho fatto così:

ho ricavato $a , b$ in termini delle coordinate parametriche del vertice (vedi post precedente) e ho trovato che l'equazione della parabola è:

$y = (8-k)/k (1/k * x^2 - 2 x )$

Il coefficiente angolare della retta per $OV$ è $m_(OV) = - (8 - k)/k$.

Tra tutte le rette con coefficiente angolare assegnato $m_(OV)$ qual è quella tangente alla parabola (tenute conto le condizioni geometriche del problema) ?

$y = m x + q$ , $y = - (8 - k)/k x + q$

Sistema:
$y = - (8 - k)/k x + q$
$y = (8-k)/k (1/k * x^2 - 2 x )$

$- (8 - k)/k x + q = (8-k)/k (1/k * x^2 - 2 x )$

$ (8-k)/k^2 * x^2 - 2 (8-k)/k x + (8 - k)/k x - q = 0$

$ (8-k)/k^2 * x^2 - (8 - k)/k x - q = 0$

$Delta = 0$ , cioè $(8 - k)^2/k^2 + 4 (8-k)/k^2 * q = 0$

$(8 - k) + 4 * q = 0$

$q = (k - 8)/4$

Per trovare l'altezza del rettangolo circoscritto bisogna calcolare la distanza tra le due rette...

Se hai voglia di proseguire i conti... (sperando che i miei siano giusti)

[driver_458]

non ho capito come si fa a ottenere $y=(8-k)/k(1/(k)x^2-2x)$.

[Seneca1]

"caseyn27":non ho capito come si fa a ottenere $y=(8-k)/k(1/(k)x^2-2x)$.

Hai questa equazione: $y = a x^2 + b x$

Per determinare $a , b$ (in funzione di $k$) hai bisogno sostanzialmente di due condizioni:

Passaggio per $V ( k , k - 8 )$, cioè: $k - 8 = a k^2 + b k$ (1)

Passaggio per il punto di coordinate $( 2k , 0)$ , l'ulteriore punto di intersezione della parabola con l'asse $x$ : $0 = a * ( 2 k ) + b * ( 2 k )$ (2)

Metti a sistema (1) e (2) e risolvi trovando $a(k)$ e $b(k)$.

Credo di aver commesso qualche errore facendo i calcoli, ma, in linea di massima, l'idea sembra corretta. Otterresti una parabola i cui coefficienti variano in funzione dell'ascissa $k$ del vertice. Non credo sia l'unico modo di farlo e non so se è il modo più semplice.

Come seconda cosa devi trovare il modo di valutare l'altezza del rettangolo circoscritto al segmento parabolico che ti interessa. Potresti, per esempio, scrivere l'equazione della retta tangente alla parabola con pendenza $m_(OV)$ e scrivere la formula della distanza tra la retta appena considerata e il punto $V$.

[Seneca1]

Sto perdendo colpi.

Chiama $H$ la proiezione di $V$ sull'asse delle $x$. Calcola l'area del segmento parabolico $HOV$ ($2/3$ dell'area del rettangolo circoscritto).

$Area_r = k * | k - 8 | = - k * ( k - 8 )$

$Area_(seg) = - 2/3 k * ( k - 8 )$

L'area del triangolo $HVO$ è : $Area_(HVO) = - k/2 * ( k - 8 )$

L'area del segmentino parabolico che ti interessa, quello delimitato dal segmento $OV$, è ovviamente:

$Area_("cercata") = Area_(seg) - Area_(HVO) = - 2/3 k * ( k - 8 ) - ( - k/2 * ( k - 8 ) )$

Derivando si scopre che in $k = 4$ c'è un punto stazionario.

Sostituendo $k = 4$ nell'equazione della parabola i cui coefficienti sono in funzione di $k$, si trova proprio la parabola che viene data nella soluzione. Purtroppo (!) l'area non risulta essere $8/5$, se non sbaglio...