Area porzione di piano tra il grafico di due funzioni

[Arizar]

Riuscite a risolvermi questo problema??
Disegnare la curva γ di equazione

[math]y=\sqrt{ 1-4x^2} [/math]

;successivamente scritta, l'eqauzione della parabola γ' simmetrico rispetto alla retta x=1/2, passante per (0;1) e ivi tangente alla retta

[math]4x+y-1=0[/math]

, determinare l'area della regione piana limitata da γ e γ'

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Partiamo preliminarmente dall'equazione dell'ellisse di centro l'origine
e di semiassi pari rispettivamente a

[math]\frac{1}{2}[/math]

e

[math]1[/math]

:

[math]\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1\\[/math]

.

Sarai d'accordo che tale equazione equivale a

[math]y^2 = 1 - 4x^2[/math]

. Bene,
se è equivalente allora il proprio grafico deve essere lo stesso. Se adesso
applichiamo la radice quadrata ad ambo i membri che succede? Succede
una cosa che dà un po' fastidio, ossia "compare" un odioso segno "più o
meno":

[math]y = \pm\sqrt{1 - 4x^2}[/math]

. Ma quel doppio segno in realtà ci sta
semplicemente ad indicare che se si considera

[math]y = -\sqrt{1 - 4x^2}[/math]

il
grafico di tale funzione coincide alla metà ellisse posta nel semipiano negativo
delle ordinate, mentre se si considera

[math]y = \sqrt{1 - 4x^2}[/math]

(ossia la funzione
in oggetto) il grafico sarà semplicemente la metà ellisse posta nel semipiano
positivo delle ordinate. Come puoi vedere, con delle semplici osservazioni
siamo riusciti a risalire al grafico di tale funzione, ossia alla curva

[math]\gamma[/math]

, senza
svolgere alcun conto. Comodo, vero? :)

Ora lasciamo riposare

[math]\gamma[/math]

e occupiamoci di

[math]\gamma'[/math]

, ossia del grafico di una
parabola del tipo

[math]y = ax^2 + bx + c[/math]

. Innanzitutto tale parabola deve
passare per il punto

[math](0,\,1)[/math]

e quindi deve essere

[math]c = 1[/math]

. Poi deve essere
simmetrica rispetto alla retta

[math]x = \frac{1}{2}[/math]

e quindi ciò comporta che

[math]-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}[/math]

,
ossia

[math]b = -a[/math]

. Infine, nel punto precedente, deve essere tangente alla retta
di equazione cartesiana

[math]y = 1 - 4x[/math]

. Dunque, impostando il sistema

[math]\left\{ y = ax^2 - ax + 1, \; y = 1 - 4x \right\}[/math]

si ottiene la cosiddetta equazione
risolvente

[math]ax^2 + (4-a)x + 0 = 0[/math]

il cui discriminante risulta pari a

[math]\Delta = (4 - a)^2 - 4\,a\,0 = (4 - a)^2[/math]

. Non rimane che imporre la condizione
di tangenza:

[math]\Delta = 0[/math]

per ottenere

[math]a = 4[/math]

. Bene, abbiamo determinato
l'equazione cartesiana della parabola cercata:

[math]y = 4x^2 - 4x + 1[/math]

di vertice

[math]V\left(\frac{1}{2}, \; 0\right)[/math]

e rivolta verso l'alto. Il proprio grafico coincide con la curva

[math]\gamma'\\[/math]

.

Un volta graficate

[math]\gamma[/math]

e

[math]\gamma'[/math]

non è affatto difficile individuare la regione di
piano

[math]D[/math]

racchiusa:


A te il compito di calcolare l'area di

[math]D[/math]

(perlomeno di mostrare i passaggi). ;)