Area di un segmento parabolico

[mits]

Salve ragazzi, non riesco a risolvere questo esercizio:
x=-y^2+4y x=0
Si deve calcolare l'area del segmento parabolico individuato dalla parabola e dalla retta di cui sono assegnate le equazioni. Ho provato a farlo mille volte ma non ci riesco. Se potete aiutarmi vi ringrazio.

[SteDV]

Secondo il teorema sulla quadratura della parabola, l'area compresa tra una parabola e una retta secante è pari ai 4/3 della superficie del triangolo che ha per vertici il vertice della parabola e i due punti di intersezione con la retta stessa.

Nel tuo caso, la retta secante è l'asse delle ordinate (x = 0).
Devi, perciò, ricavare le coordinate dei punti per cui l'equazione della parabola è pari a 0.

y^2 + 4y = 0

È un'equazione di secondo grado e in base alla formula risolutiva risultano y_1 = 0 e y_2 = 4.

Quanto alle coordinate del vertice, ti basta conoscere la sua distanza dall'asse delle ordinate (che, in questo caso, è l'altezza del triangolo di cui sopra), cioè la sua ascissa.

V_x = -4^2 / -4 = 16 / 4 = 4.

4 è la misura dell'altezza del triangolo inscritto tra la parabola e la retta.
La base del triangolo corrisponde invece alla distanza tra i due punti di intersezione, che evidentemente è anch'essa pari a 4.

Stando al teorema: 4/3 * 4 * 4 / 2 = 4/3 * 8 = 10,67: l'area che volevamo ottenere.

Ti ricordo che le coordinate del vertice di una parabola, in generale, sono le seguenti:

[math]V = (\frac{4ac - b^2}{4a}, -\frac{b}{2a})[/math]

Dove a, b e c si riferiscono alla generica equazione di secondo grado y = ax^2 + bx + c.

Ciao!