Area di un quadrilatero inscritto
Salve, oggi in classe stavamo facendo un problema sul teorema delle corde. Il problema consisteva nel trovare la misura del raggio di una circonferenza di centro O, sapendo che il diametro AB e la corda CD si intersecano nel punto P in modo tale che AP \(\displaystyle \cong \) 3BP e CP \(\displaystyle \cong \) ¾ DP; si sapeva inoltre che DP = 16.
Alla fine del problema l'insegnante ha chiesto di proporre un possibile seguito al problema. Quello che ne è uscito è di trovare lati, area e perimetro del quadrilatero ACBD, pultroppo nessuno ha saputo farlo.
Io a casa ho riprovato a farlo, ma con scarso successo. Qualche idea?
La costruzione dovrebbe essere di questo tipo:
Alla fine del problema l'insegnante ha chiesto di proporre un possibile seguito al problema. Quello che ne è uscito è di trovare lati, area e perimetro del quadrilatero ACBD, pultroppo nessuno ha saputo farlo.
Io a casa ho riprovato a farlo, ma con scarso successo. Qualche idea?
La costruzione dovrebbe essere di questo tipo:
Risposte
Visto che usi GeoGebra o un programma similare, costruire un quadrilatero che rispetti meglio le ipotesi ti aiuterebbe a trovare quanto chiesto. Avete determinato le lunghezza dei quattro segmenti ed il raggio della circonferenza che dovrebbero essere:
$ \overline{AP}=24; \overline{PB}=8; \overline{PC}=12; \overline{PD}=16; r=16 $.
Il triangolo $ OPD $ è allora isoscele e la sua altezza $ \overline{DH} $ la puoi trovare col teorema di Pitagora.
Indicando con $ K $ la proiezione di $ C $ su $ AB $, i due triangoli $ DHP $ e $ CKP $ sono simili, con rapporto di similitudine $4/3$ e questo ti consente di determinare $ CK $ e $ PK $.
A questo punto l'area varrà $ A=112\sqrt(15) $ e per i lati ti basta nuovamente il teorema di Pitagora.
Ciao
B.
$ \overline{AP}=24; \overline{PB}=8; \overline{PC}=12; \overline{PD}=16; r=16 $.
Il triangolo $ OPD $ è allora isoscele e la sua altezza $ \overline{DH} $ la puoi trovare col teorema di Pitagora.
Indicando con $ K $ la proiezione di $ C $ su $ AB $, i due triangoli $ DHP $ e $ CKP $ sono simili, con rapporto di similitudine $4/3$ e questo ti consente di determinare $ CK $ e $ PK $.
A questo punto l'area varrà $ A=112\sqrt(15) $ e per i lati ti basta nuovamente il teorema di Pitagora.
Ciao
B.
In alternativa puoi sfruttare il fatto che
le coppie di triangoli ADP e CPB, ACP e BDP sono simili,
mentre i triangoli ABD e ABC sono rettangoli
le coppie di triangoli ADP e CPB, ACP e BDP sono simili,
mentre i triangoli ABD e ABC sono rettangoli
"orsoulx":
Visto che usi GeoGebra o un programma similare, costruire un quadrilatero che rispetti meglio le ipotesi ti aiuterebbe a trovare quanto chiesto. Avete determinato le lunghezza dei quattro segmenti ed il raggio della circonferenza che dovrebbero essere:
$ \overline{AP}=24; \overline{PB}=8; \overline{PC}=12; \overline{PD}=16; r=16 $.
Il triangolo $ OPD $ è allora isoscele e la sua altezza $ \overline{DH} $ la puoi trovare col teorema di Pitagora.
Indicando con $ K $ la proiezione di $ C $ su $ AB $, i due triangoli $ DHP $ e $ CKP $ sono simili, con rapporto di similitudine $4/3$ e questo ti consente di determinare $ CK $ e $ PK $.
A questo punto l'area varrà $ A=112\sqrt(15) $ e per i lati ti basta nuovamente il teorema di Pitagora.
Ciao
B.
In effetti non avevo proprio notato che quel segmento era congruente al raggio, grazie mille. Io però stavo cercando una risposta più generica, applicabile sempre
"@melia":
In alternativa puoi sfruttare il fatto che
le coppie di triangoli ADP e CPB, ACP e BDP sono simili,
mentre i triangoli ABD e ABC sono rettangoli
Scusa, potresti spiegarti meglio?
ADP simile a CPB, quindi $AD:CB=DP:PB$ posto $CB=x$ si ottiene $AD= 2x$
ACP simile a PDB, quindi $AC:BD=CP:PB$ posto $AC=y$ si ottiene $BD=2/3y$
Il triangolo ADB è rettangolo, vale il teorema di Pitagora, $x^2+y^2=32^2$
anche il triangolo ACB è rettangolo e vale il il teorema di Pitagora, $4x^2+4/9 y^2=32^2$
adesso non resta che risolvere il sistema.
ACP simile a PDB, quindi $AC:BD=CP:PB$ posto $AC=y$ si ottiene $BD=2/3y$
Il triangolo ADB è rettangolo, vale il teorema di Pitagora, $x^2+y^2=32^2$
anche il triangolo ACB è rettangolo e vale il il teorema di Pitagora, $4x^2+4/9 y^2=32^2$
adesso non resta che risolvere il sistema.
"SkiFire":
Io però stavo cercando una risposta più generica, applicabile sempre
Bravo! Giusta osservazione: la coincidenza fra il raggio della circonferenza ed una sezione della corda ha permesso di arrivare agevolmente all'area del quadrilatero. E se così non fosse?
A parte l'ottimo approccio proposto da @melia, anche questo continua ad esser percorribile.
L'importante è osservare che i triangoli $ OPD $ e $ OPC $ hanno i lati di misura nota: quanto basta per determinare quel che ti serve. Ad esempio $ OPC $ misura $ \overline{OC}=16; \overline{OP}=8; \overline{PC}=12 $. Non è isoscele, ma sicuramente sei in grado di calcolare l'altezza $ CK $ e le proiezioni dei lati sul diametro.
Ciao
B.
"@melia":
ADP simile a CPB, quindi $AD:CB=DP:PB$ posto $CB=x$ si ottiene $AD= 2x$
ACP simile a PDB, quindi $AC:BD=CP:PB$ posto $AC=y$ si ottiene $BD=2/3y$
Il triangolo ADB è rettangolo, vale il teorema di Pitagora, $x^2+y^2=32^2$
anche il triangolo ACB è rettangolo e vale il il teorema di Pitagora, $4x^2+4/9 y^2=32^2$
adesso non resta che risolvere il sistema.
"orsoulx":
[quote="SkiFire"] Io però stavo cercando una risposta più generica, applicabile sempre
Bravo! Giusta osservazione: la coincidenza fra il raggio della circonferenza ed una sezione della corda ha permesso di arrivare agevolmente all'area del quadrilatero. E se così non fosse?
A parte l'ottimo approccio proposto da @melia, anche questo continua ad esser percorribile.
L'importante è osservare che i triangoli $ OPD $ e $ OPC $ hanno i lati di misura nota: quanto basta per determinare quel che ti serve. Ad esempio $ OPC $ misura $ \overline{OC}=16; \overline{OP}=8; \overline{PC}=12 $. Non è isoscele, ma sicuramente sei in grado di calcolare l'altezza $ CK $ e le proiezioni dei lati sul diametro.
Ciao
B.[/quote]
Grazie mille ad entrambi, purtroppo queste risposte mi sembrano ancora abbastanza generiche poiché si applicano solo se una corda è il diametro. In caso contrario non si può applicare Pitagora e non si conosce il terzo lato dei triangoli OPD e OPC (essendo il raggio).
Sicuramente conoscendo la trigonometria il problema si risolve. Senza è un po' più dura. Ci penserò.
"SkiFire":
Grazie mille ad entrambi, purtroppo queste risposte mi sembrano ancora abbastanza generiche...
Prego, ma non puoi pretendere di piegare la geometria ai tuoi desideri. La condizione che una delle corde sia un diametro è indispensabile per la risoluzione del problema.
Se la elimini le soluzioni non saranno più in numero finito, a meno di sostituirla con un'informazione equivalente, ad esempio la distanza del centro da una delle corde, la misura del raggio, la misura dell'angolo fra le corde...
Oppure puoi modificare la richiesta, che può diventare, ad esempio: determinare in funzione di...
O ancora, trasformare il problema in uno con discussione: quante soluzioni esistono al variare del parametro...?
Ciao
B.
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