Area del cerchio
l'area del cerchio è raggio al quadrato per pi greco. c'è una dimostrazione di questa formula o una spiegazione? vorrei essere in grado di ricavarmela da solo ogni volta al posto di doverla ricordare a memoria.
Risposte
Ciao,
si esiste una dimostrazione che contiene un integrale doppio in coordinate polari
come sempre quando si calcola un volume, si deve integrale la grandezza $1$ su una superficie determinata.
in questo caso la superficie è data da $-R <= x <= R; y < +- sqrt( R^2-x^2)$
ovvero
[tex]\displaystyle A = \int_{-R}^{R} \int_{- \sqrt{ R^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{ R^{2}-x^{2}}} 1 dx dy[/tex]
che, calcolato in questo modo, è abbastanza antipatico.
Il metodo più semplice è cambiare il tipo di coordinate e passare alle coordinate polari
$x= rho cos(phi)$
$y= rho sin(phi)$
quando calcoli un integrale nel quale effettui un cambio di coordinate, devi con moltiplicare la funzione integranda per il determinante della matrice jacobiana, ovvero ma matrice formata dalle derivate parziali della trasformazione delle coordinate
Chiamo $J$ la matrice
$J = ( ( d/(d\rho)x , d/(d\phi)\x ),( d/(d\rho)y , d/(d\phi)\y ) ) = ( ( d/(d\rho)(rho cos(phi)) , d/(d\phi)\(rho cos(phi)) ),( d/(d\rho)(rho sin(phi)) , d/(d\phi)\(rho sin(phi)) ) ) = ( ( cos(phi) , -rho sin(phi) ),( sin(phi) , rho cos(phi) ) ) $
di cui, se calcoliamo il determinante, abbiamo
$|J| = rho cos^2(phi) + rho sin^2(phi) = rho (cos^2(phi) + sin^2(phi)) = rho$
nel nostro cerchio, abbiamo $rho$ che rappresenta il raggio mentre $phi$ è l'angolo di rotazione; pertanto, per coprire tutta la superficie del cerchio ci serve che $0 <= rho <= R$ e che $0 <= phi <= 2 pi$
quindi l'integrale di prima diventa
[tex]\displaystyle A = \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} 1 \cdot |J| d\rho d\phi = \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \rho d\rho d\phi[/tex]
quindi calcolando prima l'integrale rispetto a $phi$ quindi considerando tutto c'ò che non ha a che fare con $phi$ come una costante abbiamo
[tex]\displaystyle A =\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \rho d\rho d\phi = \int_{0}^{R} \rho d\rho \int_{0}^{2\pi} d\phi = \int_{0}^{R} \rho d\rho (phi)_{0}^{2\pi} = 2\pi \int_{0}^{R} \rho d\rho[/tex]
infine calcolando l'integrale rispetto a $rho$
[tex]\displaystyle A = 2\pi \left(\frac{\rho^{2}}{2}\right)_{0}^{R} = 2\pi \frac{R^{2}}{2} = \pi R^{2}[/tex]
si esiste una dimostrazione che contiene un integrale doppio in coordinate polari
come sempre quando si calcola un volume, si deve integrale la grandezza $1$ su una superficie determinata.
in questo caso la superficie è data da $-R <= x <= R; y < +- sqrt( R^2-x^2)$
ovvero
[tex]\displaystyle A = \int_{-R}^{R} \int_{- \sqrt{ R^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{ R^{2}-x^{2}}} 1 dx dy[/tex]
che, calcolato in questo modo, è abbastanza antipatico.
Il metodo più semplice è cambiare il tipo di coordinate e passare alle coordinate polari
$x= rho cos(phi)$
$y= rho sin(phi)$
quando calcoli un integrale nel quale effettui un cambio di coordinate, devi con moltiplicare la funzione integranda per il determinante della matrice jacobiana, ovvero ma matrice formata dalle derivate parziali della trasformazione delle coordinate
Chiamo $J$ la matrice
$J = ( ( d/(d\rho)x , d/(d\phi)\x ),( d/(d\rho)y , d/(d\phi)\y ) ) = ( ( d/(d\rho)(rho cos(phi)) , d/(d\phi)\(rho cos(phi)) ),( d/(d\rho)(rho sin(phi)) , d/(d\phi)\(rho sin(phi)) ) ) = ( ( cos(phi) , -rho sin(phi) ),( sin(phi) , rho cos(phi) ) ) $
di cui, se calcoliamo il determinante, abbiamo
$|J| = rho cos^2(phi) + rho sin^2(phi) = rho (cos^2(phi) + sin^2(phi)) = rho$
nel nostro cerchio, abbiamo $rho$ che rappresenta il raggio mentre $phi$ è l'angolo di rotazione; pertanto, per coprire tutta la superficie del cerchio ci serve che $0 <= rho <= R$ e che $0 <= phi <= 2 pi$
quindi l'integrale di prima diventa
[tex]\displaystyle A = \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} 1 \cdot |J| d\rho d\phi = \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \rho d\rho d\phi[/tex]
quindi calcolando prima l'integrale rispetto a $phi$ quindi considerando tutto c'ò che non ha a che fare con $phi$ come una costante abbiamo
[tex]\displaystyle A =\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \rho d\rho d\phi = \int_{0}^{R} \rho d\rho \int_{0}^{2\pi} d\phi = \int_{0}^{R} \rho d\rho (phi)_{0}^{2\pi} = 2\pi \int_{0}^{R} \rho d\rho[/tex]
infine calcolando l'integrale rispetto a $rho$
[tex]\displaystyle A = 2\pi \left(\frac{\rho^{2}}{2}\right)_{0}^{R} = 2\pi \frac{R^{2}}{2} = \pi R^{2}[/tex]
ciao mariof!
C'è anche questo altro modo, senza scomodare gli integrali doppi che penso tu non sappia nemmeno che cosa siano, ricordarsi di ciò che fece il nostro grande Archimede (nativo di Siracusa allora in Magna Grecia ma pur sempre "italico" e "siculo") nel 250 a.C. circa... riuscì a dimostrare che l'area di un cerchio è uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come altezza il raggio e come base la circonferenza.
In pratica prendi una circonferenza (immaginala fatta con un filo) e svolgila... ottieni la base del triangolo che come altezza avrà un segmento lungo quanto un raggio... la area del triangolo sarà
$A=1/2 bh=1/2 (2 pi r) r= pi r^2$
Questa cosa Archimede l'ha dimostrata... si è basato sul fatto che l'area di un POLIGONO regolare è "perimetroXapotema/2"... che è identica a quella di un triangolo che ha come base il perimetro e come altezza l'apotema!!!! dopodichè ha inscritto in una circonferenza dei poligoni con un numero di lati sempre maggiore, fino a 96!!! E il tutto senza calcolatrice
Ora tu immagina un poligono di 96 lati dentro a un cerchio... praticamente è il cerchio stesso... lui ha fatto tutti i calcoli e ha dimostrato la validità della sua dimostrazione
Niente male per della gente nata 200 anni prima di Cristo che dici?
Detto tutto questo ti fornisco un consiglio spassionato... la formula è piccolissima ed è una delle più famose della storia della matematica... $A=pi r^2$... imparatela a memoria ti servirà tutta la vita!!!
ciao!!
C'è anche questo altro modo, senza scomodare gli integrali doppi che penso tu non sappia nemmeno che cosa siano, ricordarsi di ciò che fece il nostro grande Archimede (nativo di Siracusa allora in Magna Grecia ma pur sempre "italico" e "siculo") nel 250 a.C. circa... riuscì a dimostrare che l'area di un cerchio è uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia come altezza il raggio e come base la circonferenza.
In pratica prendi una circonferenza (immaginala fatta con un filo) e svolgila... ottieni la base del triangolo che come altezza avrà un segmento lungo quanto un raggio... la area del triangolo sarà
$A=1/2 bh=1/2 (2 pi r) r= pi r^2$
Questa cosa Archimede l'ha dimostrata... si è basato sul fatto che l'area di un POLIGONO regolare è "perimetroXapotema/2"... che è identica a quella di un triangolo che ha come base il perimetro e come altezza l'apotema!!!! dopodichè ha inscritto in una circonferenza dei poligoni con un numero di lati sempre maggiore, fino a 96!!! E il tutto senza calcolatrice
Ora tu immagina un poligono di 96 lati dentro a un cerchio... praticamente è il cerchio stesso... lui ha fatto tutti i calcoli e ha dimostrato la validità della sua dimostrazioneNiente male per della gente nata 200 anni prima di Cristo che dici?
Detto tutto questo ti fornisco un consiglio spassionato... la formula è piccolissima ed è una delle più famose della storia della matematica... $A=pi r^2$... imparatela a memoria ti servirà tutta la vita!!!
ciao!!
caspita! è già difficile immaginare 96 poligoni dentro un cerchio, figurarsi combinare assieme le loro aree
No Mariof... parlavo di un UNICO poligono di 96 lati dentro al cerchio... se lo immagini o provi a disegnarlo... in pratica coincide con il cerchio stesso...
[ot]@moderatori:
mi sapreste dire come mai non mi visualizza le formule in latex. Le ho provate su vari siti che danno la visualizzazione in tempo reale e sono giuste. Grazie[/ot]
mi sapreste dire come mai non mi visualizza le formule in latex. Le ho provate su vari siti che danno la visualizzazione in tempo reale e sono giuste. Grazie[/ot]
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