Arctana+arctan b, precisazione

[Oliver Heaviside]

La formula
$arctana+arctanb=arctan\frac{a+b}{1-ab}$
che qualcuno ha citato è valida solo se ab<1.
faccio presente che il prodotto ab ha un preciso significato geometrico.
Nel caso ab=1, la formula non ha significato se ab>1 bisogna distinguere due casi, come dovrebeb sapere chi interviene a una discussione sull'argomento.
Impossibile quindi calcolare ad esempio $ arctan7+arctan\frac{1}{7}$
la formula che io ho presentato è invece valida per tutti i valori positivi si a e b.
nel caso $ a=7, b=\frac{1}{7}$ abbiamo
$ arctan7+arctan\frac{1}{7}=\frac{pi}{2}$.
Mi dispiace molto che ci siano persone che invece di parlare di matematica scrivono messaggi con sciocchezze matematiche e provocatori. Passi per le sciocchezze matematiche , puo' capitare a tutti di commettere errori, ma le provocazioni sono insopportabili.
Un tale nella formula inedita che ho presentato ha indicato la mancanza della condizione a+b diversa da zero ( avendo io premesso che a e b sono positivi !), poi mi ha consigliato di guardare una parte della formula a tutti nota riguardo la somma arcotangente. Come sia possibile immaginare che uno scriva una formula sulla somma dell'arcotangente diversa da quella nota (e secondo me piu' semplice) ignorando quella nota da tempo è per me un mistero . Confesso di non capire questo comportamento che non ha alcuna logica se non quella di provocare.
Un esempio non è certo una dimostrazione. In questo caso però l'esempio certifica che la formula è esatta, è un semplice esercizio di probabilità..
Pubblicare le dimostrazioni. Lo avrei fatto volentieri se, incredibile ma vero, non avessi ricevuto esclusivamente critiche e offese..Una amica di famiglia ha un figlio che fa ingegneria e non riesce a dare analisi. Invece di sprecare tempo con gente che non merita la mia presenza, provvederò a salvare il ragazzo come ho già fatto varie volte ..
Adios
P.S: non riesco a capire perchè alcuni frequentino un forum di matematica mancando totalmente di curiosità, interesse, voglia di imparare, capacità di autocritica, immaginazione etc. etc. e ho difficoltà a capire se si tratti di liceali o altro.
P.S2. Io sono stato Autore di un trattato di trigonometria comprendente dimostrazioni inedite di tutte le formule e non molto tempo addietro ho inviato una articolo di poco meno di 70 pagine ad una rivista straniera che mi ha chiesto di ridurlo a 20 e non ho accettato. Il contenuto era stato trovato molto interessante.
Se un collega di Liceo, mi contatta in posta privata, posso inviargli parte del mio libro con le dimostrazioni vettoriale delle formule.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Oliver Heaviside":Un tale nella formula inedita che ho presentato ha indicato la mancanza della condizione a+b diversa da zero ( avendo io premesso che a e b sono positivi !), poi mi ha consigliato di guardare una parte della formula a tutti nota riguardo la somma arcotangente.

Te l'ho fatto osservare perché hai scritto che la tua prima formula vale se entrambi $a$ e $b$ sono positivi, e la seconda se entrambi $a$ e $b$ sono negativi. Non hai detto niente nel caso in cui $a$ è positivo e $b$ è negativo, e nemmeno nel caso in cui $a$ è negativo e $b$ è positivo. Quindi la tua trattazione era incompleta. Inoltre ti ho riportato la nota formula della tangente di una somma per osservare il semplice fatto che le tue due formule sono una conseguenza praticamente immediata di quella.

Pubblicare le dimostrazioni. Lo avrei fatto volentieri se, incredibile ma vero, non avessi ricevuto esclusivamente critiche e offese..

Punto uno: hai ricevuto critiche, non offese. Non hai ricevuto offese. Punto due: se non sai accettare le critiche non andrai molto lontano. Le critiche sono fondamentali.

P.S: non riesco a capire perchè alcuni frequentino un forum di matematica mancando totalmente di curiosità, interesse, voglia di imparare, capacità di autocritica, immaginazione etc. etc. e ho difficoltà a capire se si tratti di liceali o altro.

Non capisco da quale universo deduci che chi ti risponde manca di tutte queste cose, quando quello che sembra non averle sei proprio tu, visto che rispondi alle critiche offendendoti. Chi ti risponde è appunto chi si incuriosisce e ha voglia di imparare (altrimenti non ti risponderebbe). E poi per provare da quale pulpito parli fai la lista dei tuoi amici che occupano posizioni di lavoro importanti e dici che hai scritto libri. Avere amici importanti o aver scritto libri ti autorizza automaticamente ad essere esente da critiche? Te lo dico io: NO.

P.S2. Io sono stato Autore di un trattato di trigonometria comprendente dimostrazioni inedite di tutte le formule e non molto tempo addietro ho inviato una articolo di poco meno di 70 pagine ad una rivista straniera che mi ha chiesto di ridurlo a 20 e non ho accettato. Il contenuto era stato trovato molto interessante.

Io non valuto quello che scrive una persona in base ai libri che ha scritto, e nemmeno in base ai parenti famosi o gli amici famosi che ha, valuto quello che scrive per quello che è.

Lo sai qual è il problema? Che ti atteggi come se qui tu fossi quello che insegna, quando invece da quello che scrivi si capisce che da chi ti risponde sei tu quello che ha molto da imparare.

[gugo82]

Visto che ci troviamo precisando, preciso pure io un paio di cosette.

Dato che:

[*:1fcv1nh3] l'arcotangente è una funzione dispari,

[/*:m:1fcv1nh3]
[*:1fcv1nh3] per $x!= 0$ risulta $arctan x + arctan (1/x) = "sign"(x) * pi/2$ (esercizio semplice di trigonometria elementare o di Analisi I, scegli tu)

[/*:m:1fcv1nh3]
[*:1fcv1nh3] $(a+b)/(1-ab) = - 1/((ab-1)/(a+b))$ (sotto le ovvie condizioni di esistenza $a+b!= 0, ab != 1$)[/*:m:1fcv1nh3][/list:u:1fcv1nh3]

risulta:

$arctan ((ab-1)/(a+b)) - arctan((a+b)/(1-ab)) = "sign" ((ab-1)/(a+b)) * pi/2$

da cui:

$arctan ((a+b)/(1-ab)) = arctan ((ab-1)/(a+b)) + "sign" ((1-ab)/(a+b)) * pi/2$

sotto le ovvie condizioni di esistenza di ambo i membri già riportate sopra, i.e. $a+b != 0, ab != 1$.

Le tue intuizioni sono che:

[list=a][*:1fcv1nh3] il termine di segno $"sign" ((1-ab)/(a+b))$ possa essere rimpiazzato direttamente con $1$ quando $a,b > 0$ o da $-1$ quando $a,b < 0$, indipendentemente dal segno di $1-ab$,

[/*:m:1fcv1nh3]
[*:1fcv1nh3] la limitazione $ab != 1$ sia superflua, cioè l'uguaglianza $arctan a + arctan b = arctan ((ab - 1)/(a + b)) +- pi/2$ sia valida anche per $ab = 1$, indipendentemente dal modo in cui è stata ricavata inizialmente.[/*:m:1fcv1nh3][/list:o:1fcv1nh3]

Perché il tuo guess a. sia sensato si vede facilmente: il segno della somma $arctan a + arctan b$ dipende unicamente dal segno di $a + b$ e non da quello di $1-ab$, quindi sarebbe innaturale avere al secondo membro un termine con questa dipendenza.
Però che il tuo guess a. sia corretto bisogna dimostrarlo. Una dimostrazione semplice può esser fatta con tecniche di Analisi: la funzione $f(a,b) := arctan ((ab-1)/(a+b))$ ha derivate parziali coincidenti con quelle di $g(a,b) := arctan a + arctan b$, dunque le due funzioni differiscono per una costante in ogni componente connessa dell'insieme di definizione (più restrittivo) della prima, il quale è individuato dalla limitazione $a+b!=0$ e coincide con l'intero piano $RR^2$ privato della retta di equazione $a+b=0$; nella componente individuata da $a+b>0$, la differenza $g(a,b) - f(a,b)$ è $pi/2$, mentre nell'altra, individuata da $a+b < 0$, la costante è $-pi/2$.
Quindi siamo a cavallo e possiamo scrivere:

(A) $arctan a + arctan b = arctan ((ab-1)/(a+b)) + "sign"(a+b) * pi/2$

per $a+b != 0$.

Che anche il guess b. sia sensato e corretto si vede sfruttando la seconda delle relazioni che ho ricordato nell'elenco iniziale.

Questo ragionamento mostra che la formula "nuova" da te proposta deve funzionare per i casi $a,b>0$ e $a,b<0$, indipendentemente da tutte le possibili prove numeriche elaborate finora.
Anzi, di più: dimostra che la tua formula con le sue limitazioni è un caso particolare di (A) la quale vale se $a+b!=0$ (indipendentemente dalla concordanza dei loro segni).

Tuttavia, proprio come la formula "nota", anche la (A) -e perciò anche tua "nuova" formula- non funziona sempre.
Non lo noti solamente perché automaticamente (spero non consapevolmente...) escludi dai giochi i valori che la fanno fallire: ad esempio, escludi $a=7, b=-7$, per i quali la formula non funziona. In generale, $a$ e $b=-a$ sono coppie di valori non considerati ma che prendono il posto di $a$ e $b=1/a$ come casi "brutti" (questo dipende dal fatto che sei passato al reciproco da qualche parte).
In altri termini, la (A) fallisce se $a+b=0$... Il che è ovvio (perchè?).

Tirando le somme: la "nuova formula" si ottiene da quella "nota" passando al reciproco l'argomento dell'arcotangente al secondo membro ed esplicitando la dipendenza del primo membro dal solo segno di $a+b$.
Quindi, la formula "nuova" non contiene in sé alcun elemento di novità: è un collage di cose già note.
Come spesso accade, ciò che potrebbe essere nuovo o interessante è il metodo con cui essa viene ricavata e/o il metodo con cui essa viene dimostrata.
Ben consci di ciò, ti abbiamo chiesto di mostrare metodo o dimostrazione oppure di darci un riferimento: né l'una né l'altra richiesta sono state soddisfatte finora, adducendo scuse piuttosto puerili.


[xdom="gugo82"]E con ciò chiudo.[/xdom]