Archi associati ed identità goniometriche
Salve a tutti e buone vacanze per tutti.
Vorrei porvi un quesito riguardante gli archi associati a cui sto approcciando in questi giorni.Quando mi trovo davanti ad una identita goniometrica del tipo sen (x)= 1/2 e devo esprimere i risultati in radianti,non ho ben capito come procedere per trovare il seno di 1/2 sulla circonferenza goniometrica...ossia,nel primo quadrante mi trovo.Quando vado a considerare l'arco associato non ho ben capito il procedimento per trovarlo.A volte capita che devo sottrarre a 180-a a volte 90+a ...cosi per la funzione seno,coseno,tangente e cotangente..non ho ben capito quando devo sottrarre e quando devo sommare per trovarmi l'arco associato negli altri 3 quadranti...qualcuno di buon cuore che può farmelo capire? Grazie
Vorrei porvi un quesito riguardante gli archi associati a cui sto approcciando in questi giorni.Quando mi trovo davanti ad una identita goniometrica del tipo sen (x)= 1/2 e devo esprimere i risultati in radianti,non ho ben capito come procedere per trovare il seno di 1/2 sulla circonferenza goniometrica...ossia,nel primo quadrante mi trovo.Quando vado a considerare l'arco associato non ho ben capito il procedimento per trovarlo.A volte capita che devo sottrarre a 180-a a volte 90+a ...cosi per la funzione seno,coseno,tangente e cotangente..non ho ben capito quando devo sottrarre e quando devo sommare per trovarmi l'arco associato negli altri 3 quadranti...qualcuno di buon cuore che può farmelo capire? Grazie
Risposte
Provo a darle una risposta ma prima devo fare alcune precisazioni. Quella che lei chiama identità goniometrica è in realtà un'equazione. Infatti un'identità è un'uguaglianza valida per qualunque elemento appartente all'insieme numerico considerato, mentre questa è soddisfatta soltanto dalle x (angoli) il cui seno è 1/2. Inoltre le devo dire che "esprimere in radianti i risultati" significa trovare quali angoli soddisfano l'equazione, quindi quali angoli hanno seno uguale a 1/2.
Per dare una risposta alla sua domanda, immagini la seguente situazione: in un piano cartesiano tracci una retta parallela all'asse x passante per il punto A (0; 1/2). Questa retta interseca la circonferenza goniometrica in due punti che hanno entrambi ordinata uguale a 1/2. A questi punti sono associati due angoli che rappresentano le nostre soluzioni: l'angolo a e il suo supplementare ( b = 180° - a). Risolvere quindi un'equazione elementarare in seno significa trovare quali angoli hanno quel seno o quali punti della circonferenza goniometrica hanno ordinata uguale al seno assegnato.
Se fa gli stessi ragionamenti per il coseno nota che gli angoli-soluzioni sono a e il suo opposto ( b = - a = 360° - a).
Per la tangente e la cotangente le soluzioni sono a e ( b= 180° + a).
Il mio consiglio è comunque di non limitarsi ad un'esecuzione meccanica ma di capire meglio le definizioni delle funzioni goniometriche, il concetto di funzione periodica e il significato di equazione.
Per dare una risposta alla sua domanda, immagini la seguente situazione: in un piano cartesiano tracci una retta parallela all'asse x passante per il punto A (0; 1/2). Questa retta interseca la circonferenza goniometrica in due punti che hanno entrambi ordinata uguale a 1/2. A questi punti sono associati due angoli che rappresentano le nostre soluzioni: l'angolo a e il suo supplementare ( b = 180° - a). Risolvere quindi un'equazione elementarare in seno significa trovare quali angoli hanno quel seno o quali punti della circonferenza goniometrica hanno ordinata uguale al seno assegnato.
Se fa gli stessi ragionamenti per il coseno nota che gli angoli-soluzioni sono a e il suo opposto ( b = - a = 360° - a).
Per la tangente e la cotangente le soluzioni sono a e ( b= 180° + a).
Il mio consiglio è comunque di non limitarsi ad un'esecuzione meccanica ma di capire meglio le definizioni delle funzioni goniometriche, il concetto di funzione periodica e il significato di equazione.
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