Approssimazioni e cifre significative
Ciao,
Supponiamo che io ho i seguenti dati:
A=10.00
B=197.0
io devo trovare D tramite un'informazione su C.
$ C=A/B $
$ D=123.0*C $
ora veniamo al dunque:
la calcolatrice come C mi da -> 0.05076142132
ora io non ho chiaro se per calcolare D devo fare il passaggio 1 o il 2:
1
D=123.0*0.05076142132=6.243654822
ora faccio le dovute "approssimazioni" e dato che all'inizio avevo 4 cifre significative scrivo : D=6.244
2
C=0.05076142132 ma io già qui "approssimo" ed ottengo C=0.05076
D=123.0*0.05076=6.243
Io opterei per la seconda scelta!
Grazie!
Supponiamo che io ho i seguenti dati:
A=10.00
B=197.0
io devo trovare D tramite un'informazione su C.
$ C=A/B $
$ D=123.0*C $
ora veniamo al dunque:
la calcolatrice come C mi da -> 0.05076142132
ora io non ho chiaro se per calcolare D devo fare il passaggio 1 o il 2:
1
D=123.0*0.05076142132=6.243654822
ora faccio le dovute "approssimazioni" e dato che all'inizio avevo 4 cifre significative scrivo : D=6.244
2
C=0.05076142132 ma io già qui "approssimo" ed ottengo C=0.05076
D=123.0*0.05076=6.243
Io opterei per la seconda scelta!
Grazie!
Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi di base.[/xdom]
Riguardo la domanda, fare approssimazioni intermedie non fa altro che introdurre ulteriore errore, non c'è motivo per cui tu debba farlo. Inoltre la moltiplicazione e la divisione commutano, e le approssimazioni intermedie possono cambiare se esegui le operazioni in ordine diverso, il che è chiaramente male.
Riguardo la domanda, fare approssimazioni intermedie non fa altro che introdurre ulteriore errore, non c'è motivo per cui tu debba farlo. Inoltre la moltiplicazione e la divisione commutano, e le approssimazioni intermedie possono cambiare se esegui le operazioni in ordine diverso, il che è chiaramente male.
Scusa per l'errore nell'inserimento nell'errata sezione.
Io ho pensato al fatto che quei numeri potrebbero ipoteticamente essere dei numeri reali ottenuti da un qualche esperimento.
Mi pare ancora strano che nel metodo 1 uso come valore di C (0.05076142132) una precisione (quindi un numero di cifre significative maggiore) maggiore di quella di partenza.
Sono d'accordo che matematicamente introduco "errore" ad approssimare nei passaggi intermedi ma in un caso reale mi sembra anche strano che possa aumentare la precisione.
Io ho pensato al fatto che quei numeri potrebbero ipoteticamente essere dei numeri reali ottenuti da un qualche esperimento.
Mi pare ancora strano che nel metodo 1 uso come valore di C (0.05076142132) una precisione (quindi un numero di cifre significative maggiore) maggiore di quella di partenza.
Sono d'accordo che matematicamente introduco "errore" ad approssimare nei passaggi intermedi ma in un caso reale mi sembra anche strano che possa aumentare la precisione.
Non aumenta la precisione (che diminuisce sempre 
) ma almeno non la danneggi ulteriormente … 
) ma almeno non la danneggi ulteriormente …
Ma se inizialmente ho A e B rispettivamente con 4 cifre significative e dopo mi ritrovo C con 10 cifre significative perchè affermi che non "aumento la precisione" ?
La precisione non viene espressa in qualche modo dal numero di cifre significative?
La precisione non viene espressa in qualche modo dal numero di cifre significative?
Non "fissarti" sui risultati intermedi, alla fine le riduci con le solite regole e non saranno mai più di quelle con cui sei partito ...
Non ho capito il motivo ma farò come dici 
Grazie!
Grazie!
Scusami ma il risultato finale che hai ottenuto in entrambi i casi ha dieci cifre? No.
Quindi non hai "aumentato" la precisione della misura.
"Tagliando" i risultati intermedi nel migliore dei casi ottieni la stessa precisione che hai lasciando tutte le cifre (e quindi non guadagni niente), invece è più probabile che ti perdi qualcosa, peggiorando la precisione ...
Quindi non hai "aumentato" la precisione della misura.
"Tagliando" i risultati intermedi nel migliore dei casi ottieni la stessa precisione che hai lasciando tutte le cifre (e quindi non guadagni niente), invece è più probabile che ti perdi qualcosa, peggiorando la precisione ...
Io credo che il problema stia solo nel fatto che ritieni opportuno approssimare D a 4 cifre decimali, ma con una divisione hai potuto notare che le 4 cifre non possono essere esatte. Facendo il calcolo dell’errore mi viene D con 3 decimali e non con 4, che è poi quello che hai ottenuto tu e che hai osservato seguendo le due vie diverse.
Ciao, mi ritrovo a scrivere qua perché vedo che ancora non mi è chiaro il discorso:
Ora vi allego cosa dice il mio libro di chimica:
Veniamo al punto, quando calcola l'area scrive come risultato 366 ma secondo me dovrebbe scrivere almeno 366.5 dato che questo è un passaggio intermedio che serve a calcolare lo spessore.
Io scriverei 366 se la richiesta del mio problema fosse proprio l'area e quindi l'area fosse il passaggio finale.
Questo è quello che avevo capito io anche da quello che mi avevate suggerito.
Riuscite a farmi nuovamente chiarezza?
Ora vi allego cosa dice il mio libro di chimica:
Veniamo al punto, quando calcola l'area scrive come risultato 366 ma secondo me dovrebbe scrivere almeno 366.5 dato che questo è un passaggio intermedio che serve a calcolare lo spessore.
Io scriverei 366 se la richiesta del mio problema fosse proprio l'area e quindi l'area fosse il passaggio finale.
Questo è quello che avevo capito io anche da quello che mi avevate suggerito.
Riuscite a farmi nuovamente chiarezza?
Ciao, mi ritrovo a scrivere qua perché vedo che ancora non mi è chiaro il discorso:
Ora vi allego cosa dice il mio libro di chimica:
Veniamo al punto, quando calcola l'area scrive come risultato 366 ma secondo me dovrebbe scrivere almeno 366.5 dato che questo è un passaggio intermedio che serve a calcolare lo spessore.
Io scriverei 366 se la richiesta del mio problema fosse proprio l'area e quindi l'area fosse il passaggio finale.
Questo è quello che avevo capito io anche da quello che mi avevate suggerito.
Riuscite a farmi nuovamente chiarezza?
Ora vi allego cosa dice il mio libro di chimica:
Veniamo al punto, quando calcola l'area scrive come risultato 366 ma secondo me dovrebbe scrivere almeno 366.5 dato che questo è un passaggio intermedio che serve a calcolare lo spessore.
Io scriverei 366 se la richiesta del mio problema fosse proprio l'area e quindi l'area fosse il passaggio finale.
Questo è quello che avevo capito io anche da quello che mi avevate suggerito.
Riuscite a farmi nuovamente chiarezza?
Usa tre cifre significative e quindi arrotonda (giustamente) a $366$ … siam sempre lì, l'approssimazione voluta è una scelta, quindi qualsiasi cosa fai l'importante è che sia coerente con l'obiettivo …
Certamente, meno approssimazioni intermedie fai, più è preciso il risultato ma qui non stai calcolando la massa di un atomo …
Per esempio, hai provato a calcolare lo spessore in una volta sola? In questo modo arrotondi solo il risultato finale
Certamente, meno approssimazioni intermedie fai, più è preciso il risultato ma qui non stai calcolando la massa di un atomo …
Per esempio, hai provato a calcolare lo spessore in una volta sola? In questo modo arrotondi solo il risultato finale
Ciao axpgn, grazie della risposta. Ma il mio "problema" è proprio quando dici: "usa tre cifre significative e quindi arrotonda a 366". Su questo sono d'accordo ma io non capisco se è obbligatorio o meno arrotondare a 3 cifre significative qua in questo [highlight]passaggio intermedio[/highlight]. Sembrerei obbligato dal fatto che 10.8 ha tre cifre significative, quindi il risultato non può averno più di tre.
quindi io sbaglierei a mettere 366.5
quindi io sbaglierei a mettere 366.5
Ma non è uno sbaglio una meno o una più … vedi che ne usa solo due per il volume e quattro per il pi greco …
L'importante è non esagerare in un senso o nell'altro: $0.8$ per il volume è troppo poco, $3,1415592$ è troppo …
L'importante è non esagerare in un senso o nell'altro: $0.8$ per il volume è troppo poco, $3,1415592$ è troppo …
In realtà questa delle cifre significative è una deviazione molto tipica dei libri di chimica e dei chimici in generale.
Un mio amico che studia al PoliTo ha una prof.ssa che toglie punti in maniera completamente scriteriata non appena vede una cifra significativa fuori posto.
In realtà però la regola dei chimici è semplice, ed è la seguente:
cito direttamente da un libro di chimica, il Clerici, Morrocchi:
L'applicazione di questa regola sembra semplice ma in realtà tra il dire e il fare ci sono tutte le sfumature di grigio. Anzi, di marrone dato che si rischia di perdere punti on a mere technicality e spesso senza capire perché dato che nessuno ce lo ha spiegato.
Per esempio, se devo fare:
$27,8 g + 3,175 g+ 45,24 g= 76,215 g \overset("applicazione della regola")=76,2g$
Fino a qui tutto semplice.
Però già si presenta la prima eccezione nel seguente caso:
$(1255 mq)/(92 m) =13,641304 m=14m$
In questo caso la regola è stata applicata esattamente come scritta, dato che $92$ è il dato con meno cifre significative (ovverosia 2).
Però hai ottenuta una precisione che è un porcheria
dato che il fattore meno preciso
$92 +-1$ ha una precisione dell'$1%$
il quoziente a due cifre, invece è:
$14+-1$ ed ha un'approssimazione del $7%$
Allora che si fa? Si prende una cifra significativa in più, ovvero al posto di $14$ prendi $13,6 m$
che da un lato ha un'approssimazione dello $0,7%$ ed è più preciso del dato meno preciso intervenuto nella divisione. Ma almeno $1%$ e $0,7%$ sono dello stesso ordine di grandezza.
Diverso il trattamento dei numeri esatti, che non vengono conteggiati nell'applicazione della regola. $pi$ è un numero esatto.
Anche $12 g/(mol)$ per un chimico è un numero esatto, ossia la massa molare del carbonio $C-12$
Fatta questa premessa torniamo al tuo esempio:
Allora si calcola innanzitutto il volume dell'olio come:
$V_("olio")=(m_("olio"))/(\rho_("olio"))=pi*r^2*s_("olio")$
$s_("olio")=m_("olio")/(\rho_("olio")*pi*r*r)=(m_("olio")*4)/(\rho_(olio)*pi*D*D)=(4*0,75g)/(0,875 g/(cm^3)*pi*21,6 cm * 21,6 cm)\overset("dal calcolatore")=$
$0,002339137906 cm$
In questo caso, la regola ti direbbe di prendere due cifre significative, dato che $0,75g$ è il dato con meno cifre significative (e ne ha due) e ottieni:
$overset("applicazione della regola")=0,0023 cm$
che per l'appunto ha due cifre significative.
Se la domanda è "un professore [appellativo spiacevole]... potrebbe togliermi dei punti se gli scrivo 0,00233 al compito, al posto di 0,0023?"
Si. Quindi mettiti il cuore in pace. Perderai dei punti a prescindere. Questo discorso delle cifre significative è necessario perché utilizzando la calcolatrice non ci si accorge del significato delle cifre che si mette. E sarebbe ridicolo scrivere i numeri con tutte le cifre significative. Del resto se sto calcolando qualcosa in $m^3$ un errore di un millesimo è un errore di $1L$ ed è tanto, quindi da lì deriva l'importanza di questo argomento. Però oggettivamente è abbastanza opinabile fare i puntigliosi su esercizi semplici come questo ad un esame di chimica generale all'università anche se ho visto compagni di corso approssimare una misura in $m^3$ al centesimo...
compiendo un errore di $10L$ (!) (immagina 10 cartoni del latte in più o in meno nel frigor per intenderci) di fatto quindi anche i professori hanno le loro ragioni ad arrabbiarsi, nessuno lo nega.
Un mio amico che studia al PoliTo ha una prof.ssa che toglie punti in maniera completamente scriteriata non appena vede una cifra significativa fuori posto.
In realtà però la regola dei chimici è semplice, ed è la seguente:
cito direttamente da un libro di chimica, il Clerici, Morrocchi:
Nell'esecuzione delle varie operazioni matematiche la precisione del risultato finale non può eccedere la precisione del dato sperimentale meno preciso che viene utilizzato
L'applicazione di questa regola sembra semplice ma in realtà tra il dire e il fare ci sono tutte le sfumature di grigio. Anzi, di marrone dato che si rischia di perdere punti on a mere technicality e spesso senza capire perché dato che nessuno ce lo ha spiegato.
Per esempio, se devo fare:
$27,8 g + 3,175 g+ 45,24 g= 76,215 g \overset("applicazione della regola")=76,2g$
Fino a qui tutto semplice.
Però già si presenta la prima eccezione nel seguente caso:
$(1255 mq)/(92 m) =13,641304 m=14m$
In questo caso la regola è stata applicata esattamente come scritta, dato che $92$ è il dato con meno cifre significative (ovverosia 2).
Però hai ottenuta una precisione che è un porcheria
dato che il fattore meno preciso
$92 +-1$ ha una precisione dell'$1%$
il quoziente a due cifre, invece è:
$14+-1$ ed ha un'approssimazione del $7%$
Allora che si fa? Si prende una cifra significativa in più, ovvero al posto di $14$ prendi $13,6 m$
che da un lato ha un'approssimazione dello $0,7%$ ed è più preciso del dato meno preciso intervenuto nella divisione. Ma almeno $1%$ e $0,7%$ sono dello stesso ordine di grandezza.
Diverso il trattamento dei numeri esatti, che non vengono conteggiati nell'applicazione della regola. $pi$ è un numero esatto.
Anche $12 g/(mol)$ per un chimico è un numero esatto, ossia la massa molare del carbonio $C-12$
Fatta questa premessa torniamo al tuo esempio:
Allora si calcola innanzitutto il volume dell'olio come:
$V_("olio")=(m_("olio"))/(\rho_("olio"))=pi*r^2*s_("olio")$
$s_("olio")=m_("olio")/(\rho_("olio")*pi*r*r)=(m_("olio")*4)/(\rho_(olio)*pi*D*D)=(4*0,75g)/(0,875 g/(cm^3)*pi*21,6 cm * 21,6 cm)\overset("dal calcolatore")=$
$0,002339137906 cm$
In questo caso, la regola ti direbbe di prendere due cifre significative, dato che $0,75g$ è il dato con meno cifre significative (e ne ha due) e ottieni:
$overset("applicazione della regola")=0,0023 cm$
che per l'appunto ha due cifre significative.
Se la domanda è "un professore [appellativo spiacevole]... potrebbe togliermi dei punti se gli scrivo 0,00233 al compito, al posto di 0,0023?"
Si. Quindi mettiti il cuore in pace. Perderai dei punti a prescindere. Questo discorso delle cifre significative è necessario perché utilizzando la calcolatrice non ci si accorge del significato delle cifre che si mette. E sarebbe ridicolo scrivere i numeri con tutte le cifre significative. Del resto se sto calcolando qualcosa in $m^3$ un errore di un millesimo è un errore di $1L$ ed è tanto, quindi da lì deriva l'importanza di questo argomento. Però oggettivamente è abbastanza opinabile fare i puntigliosi su esercizi semplici come questo ad un esame di chimica generale all'università anche se ho visto compagni di corso approssimare una misura in $m^3$ al centesimo...
compiendo un errore di $10L$ (!) (immagina 10 cartoni del latte in più o in meno nel frigor per intenderci) di fatto quindi anche i professori hanno le loro ragioni ad arrabbiarsi, nessuno lo nega.
Ciao ti ringrazio della dettagliata risposta.
Tu mi hai detto che la regola generale è:
"Nell'esecuzione delle varie operazioni matematiche la precisione del risultato finale non può eccedere la precisione del dato sperimentale meno preciso che viene utilizzato"
Dice però: " la precisione del risultato finale " sembra quindi che nei passaggi intermedi, nel mio caso ad esempio nel calcolo dell'area possa andare bene prendere il risultato intero, ovvero quello fornitomi dalla calcolatrice.
Diverso se il testo mi chiedeva proprio l'area, e quindi a questo punto l'area diventava il mio risultato finale, a questo punto secondo me era necessario fare come il libro e scrivere 366.
Mi farebbe piacere un tuo parere al riguardo.
Al riguardo il mio libro dice:
"quando si risolvono problemi, si dovrebbe eseguire tutti i calcoli utilizzando tutte le cifre a disposizione nella calcolatrice ed eseguire l'arrotondamento solo alla fine del calcolo"
l'altro libro dice:
"occorre conservare sempre più cifre significative addizionali di passaggio in passaggio ed arrotondare soltanto il risultato finale"
Sopratutto da questa seconda frase a me sembra di capire che non è corretto arrotondare a 366 l'area dato che non è il mio risultato finale ma un passaggio per arrivare ad esso.
Tu mi hai detto che la regola generale è:
"Nell'esecuzione delle varie operazioni matematiche la precisione del risultato finale non può eccedere la precisione del dato sperimentale meno preciso che viene utilizzato"
Dice però: " la precisione del risultato finale " sembra quindi che nei passaggi intermedi, nel mio caso ad esempio nel calcolo dell'area possa andare bene prendere il risultato intero, ovvero quello fornitomi dalla calcolatrice.
Diverso se il testo mi chiedeva proprio l'area, e quindi a questo punto l'area diventava il mio risultato finale, a questo punto secondo me era necessario fare come il libro e scrivere 366.
Mi farebbe piacere un tuo parere al riguardo.
Al riguardo il mio libro dice:
"quando si risolvono problemi, si dovrebbe eseguire tutti i calcoli utilizzando tutte le cifre a disposizione nella calcolatrice ed eseguire l'arrotondamento solo alla fine del calcolo"
l'altro libro dice:
"occorre conservare sempre più cifre significative addizionali di passaggio in passaggio ed arrotondare soltanto il risultato finale"
Sopratutto da questa seconda frase a me sembra di capire che non è corretto arrotondare a 366 l'area dato che non è il mio risultato finale ma un passaggio per arrivare ad esso.
Il mio parere è questo: di facciata segui la regola, quindi scrivi i vari risultati con un numero di cifre significative che si attiene a alle indicazioni viste sopra. Tu nei calcoli tieni quante cifre significative vuoi (usando anche il buonsenso), tanto nessuno può venirlo a sapere (a meno che non ne tieni troppe poche, perché allora otterresti risultati assurdi e sbagliati).
Che poi tenere tutte le cifre che sputa fuori la calcolatrice mi sembra un tantino esagerato. Un conto è se fai i calcoli con excel e imposti a valle il numero di cifre... un conto è che ti devi scrivere 12 cifre per ogni risultato intermedio. Mi sembra una cavolata.
Che poi lasciami aggiungere questo. La dodicesima cifra più a destra della calcolatrice potrebbe non avere nessun significato. Non prendere come oro colato cosa ti dice il calcolatore. Dopo la sesta cifra taglia sennò vai fuori di testa!
Che poi tenere tutte le cifre che sputa fuori la calcolatrice mi sembra un tantino esagerato. Un conto è se fai i calcoli con excel e imposti a valle il numero di cifre... un conto è che ti devi scrivere 12 cifre per ogni risultato intermedio. Mi sembra una cavolata.
Che poi lasciami aggiungere questo. La dodicesima cifra più a destra della calcolatrice potrebbe non avere nessun significato. Non prendere come oro colato cosa ti dice il calcolatore. Dopo la sesta cifra taglia sennò vai fuori di testa!
Ok, ti ringrazio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo